Encontre todas as soluções reais do sistema de equações

por yanvbraz Seg 21 maio 2012, 17:44

Encontre todas as soluções reais do sistema de equações

x = 2z^2 dividido por 1 + z^2

y = 2x^2 dividido por 1 + x^2

z = 2y^2 dividido por 1 + y^2

por **Elcioschin** Seg 21 maio 2012, 20:28

Eu achei 5 ternas (x, y, z):

(0, 0, 0) ; (1, 1, 1) ; (1, 1, -1) ; (1, -1, 1) ; (-1, 1, 1)

Parece-me que são ao todo 8 ternas. portanto faltam 3.

por Werill Seg 21 maio 2012, 21:16

Mestre, não podemos ter {-1) ∈ {x, y, z}, pois teríamos denominador nulo gerando uma indeterminação. Very Happy

Eu cheguei nessa equação:
5x⁵ - 8x⁴ + 2x³ + x = 0

Provavelmente há outro método de resolução, mas depois pensarei nisso...

Boa noite! :sleep:

por **Elcioschin** Seg 21 maio 2012, 21:23

Werill

Pode-se ter x, y, z igual a -1 sim, pois no denominador aparece x², y², z²
Eu encontrei uma equação do 8º grau
Você dorme cedo meu amigo!!! No interior, nestes casos diz-ze "dorme junto com as galinhas".

por yanvbraz Seg 21 maio 2012, 21:38

Vocês conseguiram essas respostas por tentativa ou conseguiram mexer em algum membro do sistema? Antes de postar aqui, eu sabia que (1,1,1) era uma das soluções. Mas enfim, o que você fez exatamente, Elcioschin?

por **Elcioschin** Seg 21 maio 2012, 21:50

Comecei vendo que (0, 0, 0) e (1, 1, 1) eram soluções. Isto é fácil de ver

Depois quando vi que no denominador aparecia x², y², z² , imediatamente vi que x, y , z poderiam ser iguais a -1

por **Elcioschin** Ter 22 maio 2012, 08:50

Eis a equação do 8º grau

x = 2z²/(1 + z²) -----> x = 2*[2y²/(1 + y²)]²/{1 + [(2y²/(1 + y²)]²} -----> x = 8*y^4/(5y^4 + 2y² + 1)

x = 8*[2x²/(1 + x²)]^4/{5*[2x²/(1 + x²)]^4 + 2*[2x²/(1 + x²)]² + 1} ----> x = 128*x^8/(80*x^8 + 9*x^4 + 2x² + 1)

1 = 128*x^7/(80*x^8 + 9*x^4 + 2x² + 1) ----> 80*x^8 - 128*x^7 + 9*x^4 + 2*x² + 1 = 0

A 1ª raiz x = 0 foi obtida ao dividir a penúltima equação por x

Confiram as contas por favor

Tentem aplicar Britt-Rufinni para as raízes x = -1 e x = 1

por yanvbraz Ter 22 maio 2012, 16:19

Olha, sinceramente, acho que estamos indo pelo caminho errado. Ou pelo menos indo por um caminho muito complicado. Eu lembro que ja vi em um livro de professor esse sistema, e a resolução dele parecia ser pequena. Arrisco dizer que nem foi usado Briot - Ruffini. Acho que deve ser usado uma troca de variável,ou algo do tipo.