Achar a, b, c

1. ache a, b, c de modo que [latex]\frac{8}{z-4z}=\frac{a}{z}+\frac{b}{z+2}=\frac{c}{z-2}[/latex]
 para todos os valores z # 0,2  e -2.

Boa noite!
Há gabarito? Encontrei a = -8/3, b = 0 e c = 0. Seria isso?

Infelizmente não. Mas e a resolução?

Olá!
Perdoe-me a demora para lhe responder. Acabei esquecendo kkkkkkk.

Bom, a minha ideia nesse exercício tinha sido a seguinte: do lado esquerdo da equação, podemos simplificar para 8/-3z; do lado direito, realizei o mmc, resultando em [a(z + 2)(z - 2) + bz(z - 2) + cz(z + 2)]/z(z+2)(z-2).

Daí, multiplicando em cruz vem: 8z(z+2)(z-2) = -3z[a(z + 2)(z - 2) + bz(z - 2) + cz(z + 2)]. Dividindo tudo por z, e podemos fazer isso pois z é diferente de 0, tem-se: 8(z+2)(z-2) = -3[a(z + 2)(z - 2) + bz(z - 2) + cz(z + 2)]. 

Agora, realizei a distributiva, vai dar algo bem grande mesmo, veja: 8z² - 32 = -3az² + 12a - 3bz² + 6bz - 3cz² - 6cz. Daí: z²(8 + 3a + 3b + 3c) + z(6c - 6b) - (12a + 32) = 0

Bom, aqui a sacada é que interpretamos essa igualdade como uma igualdade polinomial. Se não for tão claro, imagine da seguinte forma: z²(8 + 3a + 3b + 3c) + z(6c - 6b) - (12a + 32) = 0z² + 0z + 0. Lembre-se que para que os polinômios sejam iguais, seus coeficientes também devem ser. Dessa forma, você consegue montar um sistema com as equações 12a + 32 = 0 (i), 6c - 6b = 0 (ii) e 8 + 3a + 3b + 3c = 0 (iii). 

Em (i), a = -32/12 = -8/3. Substituindo esse valor em (iii) e comparando com (ii), vê-se que b + c = 0 e b - c = 0, de modo que b = 0 e c = 0.


Acredito que seja isso. Não tenho muita certeza dessa resolução e ficaria grato se alguém me pudesse confirmar se faz sentido e se, de fato, indica a resposta correta. 

No mais, é isso. Escrevi a resposta pelo celular, então se houver algum erro, me avise. Obrigado.