Álgebra

Se [latex]x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1[/latex], com x,y ∈ [0,1], determine o valor de [latex]x^{2}+y^{2}[/latex].

Olá gustavogc14!  

Uma ideia famosa quando tem uma raiz de algo do tipo 1-x², com x menor que 1, é aplicar uma substituição trigonométrica. Nesse caso vamos fazer a seguinte substituição:

[latex]\\\left\{\begin{matrix} x = \sin\alpha\;,\;\;\alpha\in\left [ 0, \frac{\pi}{2} \right ]\\ y = \sin\beta\;,\;\;\beta\in\left [ 0, \frac{\pi}{2} \right ] \end{matrix}\right.[/latex]

Substituindo na equação inicial, teremos:

[latex]\\\sin\alpha.\sqrt{1-\sin^2\beta} + \sin\beta.\sqrt{1-\sin^2\alpha} = 1\\\\ \rightarrow\;\sin\alpha.\cos\beta + \sin\beta.\sin\alpha = 1\\\\ \rightarrow\; \sin\left ( \alpha + \beta \right ) = 1\;\rightarrow\;\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}\\\\ \rightarrow\;\beta = \frac{\pi}{2}-\alpha\;\rightarrow\;\sin\beta =y=\cos\alpha\\\\ \rightarrow\;\boxed{x=\sin\alpha\;,\;\;y=\cos\alpha}\;\rightarrow\;\boxed{x^2+y^2=1}[/latex]

Muito obrigado!