prove que dois numeros são iguais (log no expoente)

por sbvo76 Qua 25 Ago 2021, 11:22

prove que [latex] 3^{\log_5 7} [/latex] e [latex] 7^{\log_5 3} [/latex] são iguais

por **qedpetrich** Qua 25 Ago 2021, 11:46

Olá sbvo76.

Uma maneira de provar, é chamar log 5 (7) = x e log 5 (3) = y, veja:
$prove que dois numeros são iguais (log no expoente) Png.latex?%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Clog_5%207%20%3D%20x%20%5Crightarrow%20%5C%205%5E%7Bx%7D%20%3D%207%26%20%5C%5C%20%5Clog_5%203%20%3D%20y%20%5Crightarrow%20%5C%205%5E%7By%7D%20%3D%203%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$
Ainda temos:
$prove que dois numeros são iguais (log no expoente) Png.latex?%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203%5E%7B%5Clog_5%207%7D%20%3D%203%5E%7Bx%7D%20%26%20%5C%5C%207%5E%7B%5Clog_5%203%7D%20%3D%207%5E%7By%7D%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$
Resolvendo o sistema:

$prove que dois numeros são iguais (log no expoente) Png$
Logo, os números são iguais.

por sbvo76 Qua 25 Ago 2021, 12:04

eu pensei no seguinte:
[latex] \log_5 3^{\log_5 7} = \log_5 7^{\log_5 3} [/latex]
[latex] \log_5 3 * \log_5 7 = \log_5 7 * \log_5 3 [/latex]

por sbvo76 Qua 25 Ago 2021, 12:11

qedpetrich escreveu:Olá sbvo76.

Uma maneira de provar, é chamar log 5 (7) = x e log 5 (3) = y, veja:
$prove que dois numeros são iguais (log no expoente) Png.latex?%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Clog_5%207%20%3D%20x%20%5Crightarrow%20%5C%205%5E%7Bx%7D%20%3D%207%26%20%5C%5C%20%5Clog_5%203%20%3D%20y%20%5Crightarrow%20%5C%205%5E%7By%7D%20%3D%203%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$
Ainda temos:
$prove que dois numeros são iguais (log no expoente) Png.latex?%5Csmall%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203%5E%7B%5Clog_5%207%7D%20%3D%203%5E%7Bx%7D%20%26%20%5C%5C%207%5E%7B%5Clog_5%203%7D%20%3D%207%5E%7By%7D%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$
Resolvendo o sistema:

$prove que dois numeros são iguais (log no expoente) Png$
Logo, os números são iguais.

não entendi muito bem sua logica, como voce chegou à essa relação de equivalência ?

por **qedpetrich** Qua 25 Ago 2021, 12:25

Fiz passo-a-passo amigo, chamei um logaritmo de x e outro de y, apliquei o logaritmo, se os números são iguais então 3^x = 7^y, como 3 = 5^y e 7 = 5^x eu só substitui uma na outra, provando que os números são iguais.