Sejam u, v dois reais, com u>v>0. Prove que

por ferpz Dom 09 Fev 2014, 12:28

u^n - v^n > (u - v)^n, para todo n ≥ 2.

OBS: Tentei provar por indução finita mas não consegui, alguém me da uma luz ?
Obrigado!

por ZeratuL Dom 09 Fev 2014, 15:26

Vamos provar pelo princípio da indução finita (PIF):

Para n = 2:

u² - v² > (u-v)², pois u² - v² = (u + v)(u - v) e assim (u + v)(u - v) > (u-v)², pois u > v > 0 e (u + v) > (u - v)

Supondo, por hipótese, que a relação é válida para n = x:

u^x - v^x > (u - v)^x

daí decorre:

u^x - v^x > (u - v)^x => u^x * u - v^x * u > (u - v)^x * u => u^(x+1) - v^x * u > (u - v)^x * u

Veja que u > v e que u > u - v, por hipótese.

Daí fica claro que:

u^(x+1) - v^(x+1) > (u - v)^(x+1)

Fica provado para todo n ≥ 2.

cqd.

por ferpz Dom 09 Fev 2014, 23:59

Amigo, obrigado pela sua resposta, mas não entendi porque as relaçoes u > v e u > u - v valida a expressão u^(x + 1) - v^x*u > ( u - v)^x*u provando a expressão u^(x + 1) - v(x + 1) > ( u - v)^(x + 1)

por ZeratuL Seg 10 Fev 2014, 10:44

ferpz escreveu:Amigo, obrigado pela sua resposta, mas não entendi porque as relaçoes u > v e u > u - v valida a expressão u^(x + 1) - v^x*u > ( u - v)^x*u provando a expressão u^(x + 1) - v(x + 1) > ( u - v)^(x + 1)

Elas não validam a expressão u^(x + 1) - v^x*u > ( u - v)^x*u , a mesma já é verdadeira por natureza, já que admitimos por hipótese que a relação u^x - v^x > ( u - v)^x é valida.

Em outras palavras, através do PIF foi demonstrado que:

u^(x + 1) - v^(x+1) > u^(x + 1) - v^x*u > ( u - v)^x*u > ( u - v)^(x+1)

ou seja,

u^(x + 1) - v^(x+1) > ( u - v)^(x+1)

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