Triângulo retângulo - Apostila de cursinho

ABCD é um quadrado cujo lado mede 15m e P é um ponto externo a esse quadrado que dista 9m do vértice C 12m do vértice B. A reta AP intercepta o lado BC em E. Calcular o segmento AE.
Resposta: AE = 16,342m

Provavelmente tem um jeito mais fácil, mas eu fiz assim: 



Fazendo D ser (0,0),  A ser (0,15), B(15,15),C(15,0) e P(x_i,y_i).

Temos o seguinte sistema para as coordenadas de P:

[latex]\begin{cases} 12^2 = (15-x_i)^2+(15-y_i)^2\\~\\ 9^2 = (15-x_i)^2 +(0-y_i)^2 \end{cases}[/latex]


Resolvendo o sistema:


[latex]\begin{align*} 12^2 &= 9^2 - y_i^2+(15-y_i)^2\\~\\ 144 &= 81+225-30y_i+y_i^2-y_i^2 \\~\\ 162 &= 30y_i\\~\\ y_i &= 5.4 \end{align*}[/latex]


[latex]\begin{align*} 9^2 = (15-x_i)^2 +(0-y_i)^2 \\~\\ 81 = 225-30x_i+x_i^2 +y_i^2\\~\\ 0 = x_i^2-30x_i+173,16\end{align*}[/latex]



Como queremos a maior raiz, temos que [latex]x_i = \dfrac{111}{5} = 22.2[/latex]. Achando a reta que passa pelo ponto A e pelo ponto E:




[latex]m = \dfrac{5.4-15}{22.2-0} = -\dfrac{16}{37}[/latex]

[latex]y = m\cdot(x-x_1)+y_1 \implies y = \dfrac{16}{37}\cdot(0 -x)+15\implies y = 15-\dfrac{16x}{37}[/latex]



O ponto E é o ponto da reta onde x=15:


[latex]y_e = 15-\dfrac{16\cdot15}{37}[/latex]



Agora a ditância entre o ponto A até o E é dada por:


[latex]\begin{align*} D_{A,E} &= \sqrt{\left(15-\dfrac{16\cdot15}{37} -15\right)^2 +\left(15-0 \right )^2}\\~\\ &= \sqrt{\dfrac{16^2\cdot15^2}{37^2} +15^2}\\~\\ &= \sqrt{15^2\cdot\left(\dfrac{16^2+37^2}{37^2} \right )} \end{align*}[/latex]



Dá aproximadamente 16.34241.

Bela solução!
Eis uma mais rápida:

um modo somente por geom. plana.

Note que o triângulo BPC é homotetia de grau 3 do pitagórico 3-4-5, portanto é retângulo em P.