Fatoração de polinômios

por bebop99 Seg 02 Ago 2021, 14:24

Pessoal, estou com muita dificuldade em fatorar polinômios de grau maior que dois. De que maneira vocês fatorariam o seguinte polinômio??

x⁴ + 2x³ - x² + 2x + 1

No meu livro este polinômio foi fatorado por agrupamento até adquirir o seguinte formato: (x² - x + 1).(x² + 3x +1), porém não compreendi o processo de desenvolvimento até se chegar em tal formato e ao tentar resolver por conta própria, não consegui. Enfim, quaisquer recomendações sobre como fatorar esses polinômios grandes serão bem vindas.

Agradeço desde já quem puder detalhar isto para mim!

por **Elcioschin** Seg 02 Ago 2021, 20:14

Sejam x² + a.x + b e x² + c.x + d os dois polinômios

x⁴ + 2.x³ - x² + 2.x + 1 = (x² + a.x + b).(x² + c.x + d)

Multiplique o 2º membro obtenha um polinômio do 4º grau, em função de a, b, c, d

Iguale, termo a termo com o termos do 1º membro

Resolva o sistema formado.

por bebop99 Ter 03 Ago 2021, 15:33

Mestre Elcio, apliquei este método para fatorar polinômios do segundo e terceiro grau e funcionou. Achei mais fácil por este método, porém é muito mais trabalhoso e cansativo, especialmente com polinômios de quarto grau ou maior. No caso do polinômio x⁴ + 2x³ - x² + 2x + 1 o sistema formado é de quatro equações e quatro incógnitas, ou seja, muito trabalhoso de se resolver.

por **Elcioschin** Ter 03 Ago 2021, 15:44

Este não é trabalhoso, considerando que a, b, c, d são inteiros.
Faça e verá.

por bebop99 Ter 03 Ago 2021, 20:24

Finalmente consegui fatorar este polinômio de quarto grau. Realmente, não deu tanto trabalho pelo fato de uma das equações do sistema ser b.d = 1, o que facilitou muito descobrir os valores de b e d. Valeu, Elcio! Me salvou!