Poliedro Convexo

Um poliedro convexo possui (2a) faces triangulares, (a + 1) faces quadrangulares, (a - 1) faces pentagonais e (a² - 6) vértices. Sendo A, V e F, respectivamente, o número total de arestas, vértices e faces desse poliedro, então é correto afirmar que a soma dos algarismos do valor resultante de 2F + 3V + 4A é igual a


(A) 9          (B) 10          (C) 11          (D) 12          (E) 13

Boa noite!

Quantidade de faces:
[latex]F=\left(2a\right)+\left(a+1\right)+\left(a-1\right)=4a[latex]

Quantidade de arestas:
[latex]2A=3\left(2a\right)+4\left(a+1\right)+5\left(a-1\right)=6a+4a+4+5a-5=15a-1[latex]
[latex]A=\frac{15a-1}{2}[latex]

Quantidade de vértices:
[latex]V=a^2-6[latex]

Teorema de Euler:
[latex]V+F=A+2[latex]
[latex]a^2-6+4a=\frac{15a-1}{2}+2[latex]

Multiplicando por 2:
[latex]2a^2-12+8a=15a-1+4[latex]
[latex]2a^2-7a-15=0[latex]
[latex]\Delta=(-7)^2-4(2)(-15)=49+120=169[latex]
[latex]a=\frac{-(-7)\pm\sqrt{169}}{2(2)}[latex]
[latex]a=\frac{7\pm 13}{4}[latex]
[latex]a'=\frac{7+13}{4}=\frac{20}{4}=5[latex]
[latex]a''=\frac{7-13}{4}=\frac{-6}{4}=\frac{-3}{2}[latex]

Portanto, o único valor válido é a=5.

[latex]F=4(5)=20[latex]
[latex]A=\frac{15(5)-1}{2}=\frac{75-1}{2}=\frac{74}{2}=37[latex]
[latex]V=(5)^2-6=25-6=19[latex]

Calculando o que se pede:
[latex]2F+3V+4A=2(20)+3(19)+4(37)=40+57+148=245[latex]
[latex]2+4+5=11[latex]

Letra c)

Espero ter ajudado!