Inequação Logarítmica

por **abelardo** Qua 21 Set 2011, 15:40

Resolva a inequação $\dpi{120} \log _{\frac{1}{2}}x+\log_{3}x>1$ .

Sem gabarito.

$\dpi{120} \log _{\frac{1}{2}}x+\log_{3}x>1$

$\dpi{120} \frac{\log_{3}x}{\log_{3}\frac{1}{2}}+\log_{3}x>1$

$\dpi{120} \log_{3}x\cdot\left ( \frac{1}{\log_{3}\frac{1}{2}}+1 \right )>1$

$\dpi{120} \log_{3}x\cdot\left ( \frac{\log_{3}3}{\log_{3}\frac{1}{2}}+1 \right )>1$

$\dpi{120} \log_{3}x\cdot\left ( \log_{\frac{1}{2}}3+\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2} \right )>1$

$\dpi{120} \log_{3}x\cdot{\color{Red} \log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}}>1$

$\dpi{120} \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}}\cdot\left (\log_{3}x\cdot\log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2} \right )>\frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}}\cdot1$

$\dpi{120} \log_{3}x{\color{Red} <}\frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}}$

$\dpi{120} \log_{3}x<\log_{\frac{3}{2}}\frac{1}{2}$

$\dpi{120} \log_{3}x<\frac{\log_{3}\frac{1}{2}}{\log_{3}\frac{3}{2}}$

$\dpi{120} \log_{3}x<{\color{Red} \left (\frac{1}{\log_{3}\frac{3}{2}} \right )}\cdot\log_{3}\frac{1}{2}$

$\dpi{150} \log_{3}x<\log_{3}\frac{1}{2}^{{\color{Red} \left (\frac{1}{\log_{3}\frac{3}{2}} \right )}}$

$\dpi{150} S=\left \{ x\in \mathbb{R}/ \ 0<x<\frac{1}{2}^{\left ( \frac{1}{\log_{3}\frac{3}{2}} \right )} \right \}$

Está certo o que fiz? se alguém tiver outra solução, seria ótimo postá-la.

por **Euclides** Qua 21 Set 2011, 18:00

Há outro caminho, fazendo

$\dpi{120} \\log_\frac{1}{2}x=-log_2x\\-log_2x+\frac{log_2x}{log_23}>1\;\;\;\;\;\to\;\;\;\;log_2x\left ( \frac{1}{log_23}-1 \right )>1\\\\log_2x\left ( \frac{1-log_23}{log_23} \right )>1\;\;\;\;\;\to\;\;\;\;log_2x{\color{Red} <}\frac{log_23}{1-log_23}\\\\\\x{\color{Red} <}2^{\frac{log_23}{1-log_23}}$

favor verificar, fiz tudo direto na tela e posso ter errado alguma passagem.

por rihan Qui 22 Set 2011, 05:22

Euclides,

é x < ... já que

log2(3) > 1

1 - log2(3) < 0

E ao dividir ou multiplicar por isso inverte-se a desigualdade...

então

x < 0,15....

por **abelardo** Sex 23 Set 2011, 10:52

Na sétima linha eu multipliquei ambos os membros por um número negativo: $\dpi{120} \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}}$ .

$\dpi{150} 0<x<\frac{1}{2}^{\left ( \frac{\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}}{\log_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}} \right )}$

$\dpi{150} 0<x<\frac{1}{2}^{\log_{\frac{3}{2}} \frac{1}{2}}$

Essa seria a minha resposta. Obrigado Rihan e mestre Euclides... devo também agradecer ao mestre Elcioschin, mas a postagem dele sumiu!! kkkk :SW3:

por **Elcioschin** Sex 23 Set 2011, 12:07

abelardo

Fui eu que apaguei a mensagem: além de ter erros, não contribuía em nada para o assunto

por rihan Sex 23 Set 2011, 21:02

Note a resolução de Euclides: mais sintética...

São 5 passagens dele e 11 suas.

Em inequações, eu prefiro, sempre que puder, resolver com exponenciais ao invés de logarítmicas, já que as exponenciais são sempre positivas, não dando "problemas" de esquecimento ao se multiplicarem ou se dividirem por fatores, o que, no caso de fatores negativos, inverteriam a desigualdade.

Mas vai depender da questão...

Euclides usou as propriedades do tipo relacionadas com a base, que eu tinha esquecido no resumo, mas depois postei em algum lugar... Shocked

( base com expoente, base de um produto ou quociente)

logb^p(x) = (1/p)*logb(x) = logb(x^[1/p])

Eu me lembro vagamente de outros "macetes" da época, tipo "cortar" certas coisas de cima com iguais de baixo: (na notação aqui usada não vai ter "em cima" e em baixo...), mas você certamente compreendeu o que estou dizendo.

logb(x) * logp(b) = logp(x)

Tem uma série dessas.

Deve dar uma página.

Faça uma lista e memorize, vai ajudar a sintetizar, atalhar e ganhar tempo para outras questões que merecem.

Crie os seus macetes: serve pra estudar a matéria, pra compreender mais e, como foi você que criou, é mais efetiva e fácil de memorizar...

Vale pras trigonométricas também. existem mais, muito mais, tipo umas 4 páginas !!!

Mas vale pra tudo: Seus resumos e mapas mentais.

Lembre-se de que:

Pra concursos, tempo vale mais, muito mais dinheiro !

Com exponenciais e logs tem várias propriedades , e, como as funções trigonométricas, é muito bom se treinar velocidade, restrições de domínio, periodicidade, além da atenção à minimalidade ao se resolver.

Implica em memorizar várias relações que poderiam ser deduzidas das fundamentais, mas que levariam tempo...

Não se preocupe, depois do concurso você vai se esquecer de todas essas ... Laughing

E Vamos Lá !

por **abelardo** Sex 23 Set 2011, 23:20

Saudações logarítmicas a todos kkk!

Você é muito engraçado Rihan e tem uma bagagem de conhecimento incrível. Obrigado pelas orientações, são de enorme ajuda para os meus planos.