Lei de hooke
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Lei de hooke
por Daenerys2114 Dom 04 Out 2020, 12:03
6- (a) considere uma mola que obedece à lei de hooke, mostre que na ausência de força externa e amortecimento a equação de movimento-lei de Newton- tem solução da forma:
X(t)=Xm sen ([latex]\omega0t+\phi[/latex]) , [latex]\omega 0=\sqrt{\left(\frac{k}{m}\right)}[/latex]
(b) calcule a média ao longo do tempo da energia mecânica total, cinética e potencial de sistema.
X(t)=Xm sen ([latex]\omega0t+\phi[/latex]) , [latex]\omega 0=\sqrt{\left(\frac{k}{m}\right)}[/latex]
(b) calcule a média ao longo do tempo da energia mecânica total, cinética e potencial de sistema.
Daenerys2114- Iniciante
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Data de inscrição : 02/10/2020
Re: Lei de hooke
por Emanuel Dias Dom 04 Out 2020, 21:44
Olá Daenerys.
Vou usar a notação de ponto para derivada temporal: [latex]\dot{x}=\frac{dx}{dt}[/latex]
Para a mola: [latex]F=-kx[/latex] [latex]m\ddot{x}=-kx[/latex]
m\ddot{x}+kx=0
Note esse resultado, ele é da forma y''+y=0
Isso é uma EDO de segunda ordem a coeficientes constantes e homogênea.
Vamos resolver para x.
Vou resolver de dois modos, há um terceiro que é usando a notação complexa que é comum em movimento amortecido, mas esse modo eu ainda não aprendi.
y''=-y.
A tradução é: qual função, derivando duas vezes retorna a função negativa?
Não é tão simples resolver, mas se tivermos algumas soluções como candidatas, podemos verificar facilmente são satisfazem a igualdade.
Qual função tem essa cara? Isso lembra seno e cos, veja:
y=cos(x)
y'=-sin(x)
y''=-cos(x)=-y
Claramente, cos(x) é solução da EDO.
y=sin(x)
y'=cos(x)
y''=-sin(x)=-y
Claramente, sin(x) é solução da EDO.
Asin(x) e Bcos(x) com certeza também serão, afinal, a constante sai da derivada.
As duas soluções somadas também é solução.
A questão é, será que são as únicas soluções? Intuitivamente sim, a motivação física dessa EDO é o sistema massa mola, que tem a cara de função seno/cos.
Então, as únicas soluções dessa equação são combinações de senos e cos.
x(t)=Asin(x)+Bcos(x)
é fácil escrever tudo em função de sin(x) apenas, tente.
Vou resolver de outro modo, integrando duas vezes:
[latex]\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x[/latex]
[latex]\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt})\frac{dx}{dt}=-\frac{k}{m}\frac{dx}{dt}[/latex]
[latex]\int v\cdot \frac{dv}{dt}=\int -\frac{k}{m}\frac{xdx}{dt}[/latex]
[latex]\frac{v^2}{2}=-\frac{kx^2}{2m}+C[/latex]
[latex](\frac{dx}{dt})^2=-\frac{kx^2}{m}+C[/latex]
Para obter a constante de integração, lembramos que no ponto de máxima deformação, a velocidade é zero,
[latex]C=\frac{KA^2}{2m}[/latex]
onde A é a amplitude.
k/m é uma constante, para facilitar a integração [latex]\omega^ 2=\frac{k}{m}[/latex]
[latex]\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}=\omega dt[/latex]
[latex]\int \frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}=\int \omega dt[/latex]
[latex]arcsin(\frac{x}{A})=\omega t+\phi [/latex]
[latex]x=Asin(\omega t+\phi )[/latex]
Phi é a fase inicial.
Provado.
Quanto ao item B, ainda não vi muito sobre a integral da média, mas sei onde você encontra uma boa explicação:
Vou usar a notação de ponto para derivada temporal: [latex]\dot{x}=\frac{dx}{dt}[/latex]
Para a mola: [latex]F=-kx[/latex] [latex]m\ddot{x}=-kx[/latex]
m\ddot{x}+kx=0
Note esse resultado, ele é da forma y''+y=0
Isso é uma EDO de segunda ordem a coeficientes constantes e homogênea.
Vamos resolver para x.
Vou resolver de dois modos, há um terceiro que é usando a notação complexa que é comum em movimento amortecido, mas esse modo eu ainda não aprendi.
y''=-y.
A tradução é: qual função, derivando duas vezes retorna a função negativa?
Não é tão simples resolver, mas se tivermos algumas soluções como candidatas, podemos verificar facilmente são satisfazem a igualdade.
Qual função tem essa cara? Isso lembra seno e cos, veja:
y=cos(x)
y'=-sin(x)
y''=-cos(x)=-y
Claramente, cos(x) é solução da EDO.
y=sin(x)
y'=cos(x)
y''=-sin(x)=-y
Claramente, sin(x) é solução da EDO.
Asin(x) e Bcos(x) com certeza também serão, afinal, a constante sai da derivada.
As duas soluções somadas também é solução.
A questão é, será que são as únicas soluções? Intuitivamente sim, a motivação física dessa EDO é o sistema massa mola, que tem a cara de função seno/cos.
Então, as únicas soluções dessa equação são combinações de senos e cos.
x(t)=Asin(x)+Bcos(x)
é fácil escrever tudo em função de sin(x) apenas, tente.
Vou resolver de outro modo, integrando duas vezes:
[latex]\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x[/latex]
[latex]\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt})\frac{dx}{dt}=-\frac{k}{m}\frac{dx}{dt}[/latex]
[latex]\int v\cdot \frac{dv}{dt}=\int -\frac{k}{m}\frac{xdx}{dt}[/latex]
[latex]\frac{v^2}{2}=-\frac{kx^2}{2m}+C[/latex]
[latex](\frac{dx}{dt})^2=-\frac{kx^2}{m}+C[/latex]
Para obter a constante de integração, lembramos que no ponto de máxima deformação, a velocidade é zero,
[latex]C=\frac{KA^2}{2m}[/latex]
onde A é a amplitude.
k/m é uma constante, para facilitar a integração [latex]\omega^ 2=\frac{k}{m}[/latex]
[latex]\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}=\omega dt[/latex]
[latex]\int \frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}=\int \omega dt[/latex]
[latex]arcsin(\frac{x}{A})=\omega t+\phi [/latex]
[latex]x=Asin(\omega t+\phi )[/latex]
Phi é a fase inicial.
Provado.
Quanto ao item B, ainda não vi muito sobre a integral da média, mas sei onde você encontra uma boa explicação:
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