Equações trigonométricas

Seja x um número real tal que [latex]sen^{10}x+cos^{10}x=\frac{11}{36}[/latex]. Seja [latex]A=sen^{12}x+cos^{12}x[/latex]. Determine o valor de A e assinale a opção correta:

a)[latex]\frac{13}{54}[/latex]

b)[latex]\frac{15}{67}[/latex]

c)[latex]\frac{11}{48}[/latex]

d)[latex]\frac{12}{49}[/latex]

e)[latex]\frac{14}{55}[/latex]

Não tenho o gabarito

Oi Isabel,
Fiz a questão de uma forma bastante braçal e não sei se é a melhor forma de se resolver ela. De qualquer forma, deixarei aqui a minha solução:

[latex]\\\left\{\begin{matrix}a=sen^2x\\b=cos^2x \end{matrix}\right.\;\rightarrow\;(a+b)=1\\\\ [/latex]

Como foi dado a⁵+b⁵ no enunciado, vamos olhar para (a+b)⁵:

[latex]\\(a+b)^5=a^5+b^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4\\ 1=\frac{11}{36}+5ab(a^3+b^3+2ab)\\\\\text{S\'o que: }(a+b)^3=1=a^3+b^3+3ab(a+b)\\\\ \rightarrow\;a^3+b^3=1-3ab\\\\ \text{Substituindo na equac\~ao de antes:}\\\\ 1=\frac{11}{36}+5ab(1-3ab+2ab)\;\rightarrow\;36(ab)^2-36(ab)+5=0\\\\ ab=\frac{1}{6}\;\;\text{ou}\;\;ab=\frac{5}{6}[/latex]

Temos que verificar qual desses ab serve. Para isso, como temos que a+b=1 e que a e b são números positivos menores que 1, podemos encontrar a e b para os dois casos. Veja que o único caso possível é o ab=1/6. Uma vez que temos a e b, podemos encontrar sem problemas A=a⁶+b⁶, elevando a e b a 6ª e somando. Porém, como isso dá um trabalhinho, vamos tentar resolver usando o ab direto. Para isso, veja que podemos escrever o A na seguinte expressão:

[latex]\\(a^3+b^3)^2=a^6+b^6+2(ab)^3\\\\ (1-3ab)^2=A+2(ab)^3\;\rightarrow\;A=(1-3ab)^2-2(ab)^3\\\\\text{substituindo }ab=\frac{1}{6}\;:\\\\ A=(1-\frac{1}{2})^2-\frac{2}{216}\;\rightarrow\;\boxed{A=\frac{13}{54}}\;\;\mathbf{Letra\;A}[/latex]