Exercícios sobre relações

Dê um exemplo de uma relação não-vazia no conjunto {a, b, c, d, e} que tenha as seguintes propriedades:
a. simétrica e transitiva 

b. simétrica e não-transitiva 

c. reflexiva, não-simétrica e transitiva 

d. reflexiva, não-simétrica e não-transitiva

Oi, 

a) R = {(a,b) , (b,a), (a,a)}. Para a relação ser simétrica, se (a,b) pertence a R, (b,a) também deve fazê-lo. Para que a relação seja transitiva, se aRb e bRa então aRa. 

b) R = {(a,b), (b,a)}. Perceba que nesse caso a função é não-transitiva, então eu deixei o par ordenado (a,a) de fora.

c) R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (b,c), (a,c)}. A relação é reflexiva, portanto para todo elemento 'x' no conjunto supracitado, xRx. Como ela é transitiva e aRb e bRc, segue-se que aRc. R é antissimétrica, logo (b,a), (c,b) e (c,a) não fazem parte da relação. 

d) R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (b,c)}. Como R é não-transitiva, (a,c) não está em R. 

A título de informação, as definições das relações simétricas, transitivas e reflexivas estão abaixo. Seja R uma relação em A: 
R é reflexiva se :



R é simétrica se: 



R é transitiva se:



R é antissimétrica se: 



aRb signifa (a,b) pertence a R.