Equação algébrica - questão chata

por JohnnyC Sáb 18 Jul 2020, 23:19

A equação polinomial 4x^5 + 5x^4 + 4x³ + 3x² + 4x + 3 = 0 tem conjunto solução S = {a, b, c, d, e}. O valor numérico da expressão (1/a) + (1/b) + (1/c) + (1/d) + (1/e) é:

a) -4/3

b) -3/4

c) 3/4

d) 1/4

e) 4/3

r: a)

pessoal, alguém sabe resolver essa questão chata de polinômio ? resolvi umas 5 nesse formato, sem tentar chutar valores pras raízes, aplicando apenas girard em função das letras e substituindo naquela soma de frações (que, no caso, eu desenvolvo). mas só resolvi com as de grau 3, essa de grau 5 não estou conseguindo.

obrigado

por **Medeiros** Dom 19 Jul 2020, 00:32

4x⁵ +5x⁴ + 4x³ + 3x² + 4x + 3 = 0

raízes = { a, b, c, d, e }

(1) a + b + c + d + e = -5/4
(2) ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de = 4/4 = 1
(3) abc + abd + abe + acd + ace + ade + bcd + bce + bde + cde = -3/4
(4) abcd + abce + abde + acde + bcde = 4/4 = 1
(5) abcde = -3/4

(4)÷(5) = (1/e) + (1/d) + (1/c) + (1/b) + (1/a) = 1/(-3/4) = -4/3

para relações de Girard de grau n, veja o link
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/relacoes-de-girard

por JohnnyC Dom 19 Jul 2020, 01:14

muito obrigado, Medeiros!!!
entendi a resolução, a linha 4 eu não sabia fazer....

por al171 Dom 19 Jul 2020, 02:57

por JohnnyC Dom 19 Jul 2020, 03:03

Muito obrigado pela resolução alternativa, al171!
Vou ser sincero, desconhecia essa tal transformação. É um bizu ou é algum conteúdo de polinômio mesmo ? Se for uma propriedade, tem um nome específico pra eu pesquisar no google e anotar a propriedade ?

por al171 Dom 19 Jul 2020, 03:09

Para questões que pedem variações a respeito do conjunto solução de um determinado polinômio, a ideia é utilizar transformações: transformada aditiva, transformada multiplicativa e transformada inversa.

Esse vídeo pode esclarecer melhor essas designações
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://m.youtube.com/watch%3Fv%3DudTOQ59UTtE&ved=2ahUKEwj0iaS709jqAhWYE7kGHeLNDFsQwqsBMAF6BAgLEAM&usg=AOvVaw146aMW8ayA4vrLCdDGr88b

por mtskwlk Dom 19 Jul 2020, 11:42

Pelo Teorema de Girard, você tem que:

P'(x)/P(x)= 1/(x-x1) + ... + 1/(x-xn), onde x1, x2, ... , xn são raízes de P(x) e P'(x) é a primeira derivada de P(x).

Logo basta fazer -[P'(0)/P(0)] => -4/3

por JohnnyC Dom 19 Jul 2020, 14:25

Me ajudou muito, al171, muito obrigado.

mtskwlk, obrigado pela ajuda, mas infelizmente não sei nada de ensino superior (nem limites, muito menos derivada), pois estou prestando vestibular ainda. mas com certeza vai ajudar muita gente aqui do fórum, pois uma grande quantidade de pessoas sabem esse assunto. muito obrigado

por mtskwlk Dom 19 Jul 2020, 16:40

JohnnyC escreveu:Me ajudou muito, al171, muito obrigado.

mtskwlk, obrigado pela ajuda, mas infelizmente não sei nada de ensino superior (nem limites, muito menos derivada), pois estou prestando vestibular ainda. mas com certeza vai ajudar muita gente aqui do fórum, pois uma grande quantidade de pessoas sabem esse assunto. muito obrigado

Show mano, porém derivações de polinômios pode ser uma ferramenta muito útil em alguns casos, fica a dica também haha.

Bons estudos!