Equação Algébrica

Se x e y são números reais, tais que . O valor de é igual a:

a)
b)
c)
d)

GABARITO:

deeeeeve ter uma forma mais siples de fazer, sei lá, mas o que eu consegui foi:
podemos supor spg x, y > 0, usa as substituições de variável
[latex]\cos a=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \text{ e } \sin a=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}[/latex]
a é do primeiro quadrante e tals.

obtemos
[latex]k=\frac{1}{\cos 2a}+\cos(2a)[/latex]
resolvendo em cos 2a,
[latex]\cos 2a=\frac{k\pm\sqrt{k^2-4}}{2}[/latex]
que sempre tem solução real, porque [latex]|k|\geq 2[/latex]
vai ter que analisar caso a caso o sinal, mas de buenas.

temos 

[latex]\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}=\frac{\cos^8a-\sin^8a}{\cos^8a+\sin^8a}[/latex]

mas

[latex]\cos^8a-\sin^8a=(\cos^4a+\sin^4a)(\cos^2a+\sin^2a)(\cos^2a-\sin^2a)
=(\cos^4a+\sin^4a)\cos2a[/latex]
e
[latex]\cos^4a+\sin^4a=(\cos^2a+\sin^2a)^2-2\sin^2 a\cos^2a
=1-\frac{\sin^22a}{2}=\frac{1+\cos^22a}{2}[/latex]
portanto
[latex]\cos^8a-\sin^8a=\frac{1+\cos^22a}{2}\cos2a[/latex]

além disso
[latex]\cos^8a+\sin^8a=(\cos^2a+\sin^2a)(\cos^4a+\sin^4a-\cos^2a\sin^2a)
=\frac{1+\cos^22a}{2}-\frac{\sin^22a}{4}
=\frac{1+3\cos^22a}{4}[/latex]

então
[latex]\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}=\frac{2(1+\cos^22a)\cos2a}{1+3\cos^22a}[/latex]

agora é só substituir tudo em função do k, fazer várias conas e terminar.

confessor que essa solução é simplesmente horrorosa, mas não tive muitas ideias

aq uma imagem do bagulho todo expandido para o caso e que x < y, ou seja, o sinal usado na formula de bhaskara é o "+" (o caso x > y é parecido, só troca uns sinais)


fonte: 2(1+a^2)a/(1+3a^2)+(1+3a^2)/(2(1+a^2)a), where a=(k-sqrt(k^2-4))/2 - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)

SilverBladeII, muito obrigado pela resposta.

Essa questão é do livro Tópicos de Álgebra Elementar, também estou procurando uma solução mais simples que use apenas os conceitos aprendidos no Fundamental II, mas não consegui enxergar nenhum caminho na questão...

noooooossa hauhauhuahua consegui. aliás, eu acho que deve ter algum erro na primeira sol que eu mandei

se liga:
[latex]k=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{2x^4+2y^4}{x^4-y^4}[/latex]

então

[latex]j=\frac{k}{2}+\frac{2}{k}=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}
=\frac{2x^8+2y^8}{x^8-y^8}[/latex]

então o que queremos é 
[latex]\frac{2}{j}+\frac{j}{2}[/latex]
que é bem mais facinho de simplificar

MUITO BOM, COLEGA!!!

VALEU DEMAIS!