Equação algébrica
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Equação algébrica
por luansavariz Ter 11 Nov 2014, 15:19
Dada a equação polinomial x³+px+q=0 (p∈R, q∈R), que relação deve existir entre os coeficientes p e q, para que uma de suas raízes seja igual ao produto das outras duas?
Eu tentei fazer pelas relações de Girard e o máximo que cheguei foi p+q = r1
Obrigado desde já
Eu tentei fazer pelas relações de Girard e o máximo que cheguei foi p+q = r1
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luansavariz- Iniciante
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Re: Equação algébrica
por PedroCunha Ter 11 Nov 2014, 17:05
Olá.
Sejam as raízes a,b, e c, tais que a = b*c. Pelas relações de Girard:
a+b+c = 0 .:. bc + b + c = 0 .:. -(b+c) = bc = a (i)
ab + ac + bc = p .:. a*(b+c) + bc = p .:. a*(-bc) + bc = p .:. -a² + a = p (ii)
abc = -q .:. a² = -q (iii)
iii em ii:
q + √(-q) = p .:. √(-q) = p-q .:. q = (p-q)² .:. -q = p² - 2pq + q² .:. p² - 2q*p + (q²+q) = 0
∆ = (-2q)² - 4*1*(q²+q) .:. ∆ = 4q² - 4q² + 4q .:. ∆ = -4q
p = (2q +- 2√(-q))/2 .:. p = q +- √(-q)
Att.,
Pedro
Sejam as raízes a,b, e c, tais que a = b*c. Pelas relações de Girard:
a+b+c = 0 .:. bc + b + c = 0 .:. -(b+c) = bc = a (i)
ab + ac + bc = p .:. a*(b+c) + bc = p .:. a*(-bc) + bc = p .:. -a² + a = p (ii)
abc = -q .:. a² = -q (iii)
iii em ii:
q + √(-q) = p .:. √(-q) = p-q .:. q = (p-q)² .:. -q = p² - 2pq + q² .:. p² - 2q*p + (q²+q) = 0
∆ = (-2q)² - 4*1*(q²+q) .:. ∆ = 4q² - 4q² + 4q .:. ∆ = -4q
p = (2q +- 2√(-q))/2 .:. p = q +- √(-q)
Att.,
Pedro
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