Iniciação a cálculo

por Nassif Ter 14 Jul 2020, 18:37

[latex]\lim_{x\rightarrow \pm \infty }P(x)/Q(x) = 0 [/latex]

Se grau (P) < grau (Q)...

Queria saber por que isso acontece...

por **Elcioschin** Ter 14 Jul 2020, 18:39

Melhore a escrita.

Por exemplo, para P(x) = x² + 4 ---> Q(x) = x³ + 1

x² + 4
-------- ---> Dividindo numerador e denominador por x²:
x³ + 1

1 + 4/x² ....1 + 0 ..... 1
---------- = -------- = --- = 0
x + 1/x² ... ∞ + 0 .... ∞

por Nassif Ter 14 Jul 2020, 18:41

Elcioschin escreveu:Melhore a escrita.

To tentando inserir o latex, mas to tendo dificuldade, também imaginei que não tivesse ido... tentei editar, mas ainda não apareceu pra mim da forma que eu queria, imagino que ainda não esteja da forma correta.

por **Elcioschin** Ter 14 Jul 2020, 18:48

Então não use o Latex

Limite [P(x)/(Qx)] = 0
x-->∞

por Nassif Ter 14 Jul 2020, 18:51

Elcioschin escreveu:Então não use o Latex

Limite [P(x)/(Qx)] = 0
x-->∞

Consegui Elcioshin,obrigado.

por Lucius Draco Ter 14 Jul 2020, 18:58

Da para demonstrar também pela Regra de l'Hôpital.

por Nassif Ter 14 Jul 2020, 19:10

Lucius Draco escreveu:Da para demonstrar também pela Regra de l'Hôpital.

Poderia demonstrar ?
Acho válido.

por Lucius Draco Qua 15 Jul 2020, 15:34

Regra de l'Hôpital.

Se temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) = \pm \infty\\ \lim_{x\rightarrow +\infty }g(x) = \pm \infty \end{matrix}\right.[/latex]

Logo,

[latex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f'(x)}{g'(x)}[/latex]

Obs.: Não vou demonstrar.

Com isso,

Assumindo que P(x) tem grau n e Q(x) tem grau k. Com k>n

temos usando a Regra de l'Hôpital n vezes:

[latex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{P^{(n)}(x)}{Q^{(n)}(x)}[/latex]

Com isso temos que P⁽ⁿ⁾(x) é uma constante e Q⁽ⁿ⁾(x) tem grau (k-n)

Logo,

[latex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{const.}{Q^{(n)}(x)} = \frac{const.}{\pm \infty } = 0[/latex]

por Lucius Draco Qua 15 Jul 2020, 15:39

Exemplo:

P(x) = x² + 3x + 1
Q(x) = x⁴ + 5x² + 3

[latex]\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2 + 3x + 1}{x^4 + 5x^2 + 3} = \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x + 3}{4x^3 + 10x} = \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{12x^2 + 10} = \frac{2}{\infty } = 0[/latex]