Igualdade trigonométrica

Demonstar que em todo triângulo ABC valem as seguintes relações:
VI) a = ((b+c).sen(A/2))/(cos((B-C)/2)
*Vou deixar uma imagem dessa relação na menssagem abaixo.

1) Pelo teorema do ângulo exterior temos:

[latex]k=\frac{\alpha }{2}+\beta [/latex]

[latex]k'=\frac{\alpha }{2}+\gamma [/latex]

2) Usando lei dos senos no ∆ACD:

[latex]\frac{x_{1}}{\sin \frac{\alpha }{2}}=\frac{b}{\sin k}[/latex]

3) Usando lei dos senos no ∆ABD:

[latex]\frac{x_{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}=\frac{c}{\sin k'}[/latex]

4) Portanto, temos:

[latex]a=x_{1}+x_{2}=(\frac{b}{\sin k}+\frac{c}{\sin k'})\cdot \sin \frac{\alpha }{2}[/latex]

5) Entretanto temos:

[latex]\sin k=\sin (\frac{\alpha }{2}+\beta )=\sin (\frac{\pi-\beta  -\gamma  }{2}+\beta )=\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\beta -\gamma }{2})=\cos (\frac{\beta -\gamma }{2})[/latex]

[latex]\sin k'=\sin (\frac{\alpha }{2}+\gamma)=\sin (\frac{\pi-\beta  -\gamma  }{2}+\gamma )=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\beta -\gamma }{2})=\cos (\frac{\beta -\gamma }{2})[/latex]

6) Logo:

[latex]a=(\frac{b}{\sin k}+\frac{c}{\sin k'})\cdot \sin \frac{\alpha }{2}=\frac{(b+c)}{\cos (\frac{\beta -\gamma }{2})}\cdot \sin \frac{\alpha }{2}[/latex]

[latex]a=\frac{(b+c)}{\cos (\frac{\beta -\gamma }{2})}\cdot \sin \frac{\alpha }{2}[/latex]