Igualdade Trigonométrica.

Se você não entender algo, avise.

[latex]\\\mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:sin(\alpha -\beta )=sin(\alpha )cos(\beta )-sin(\beta )cos(\alpha )}\\\\\mathrm{Logo,cos(y)=sin\left ( \frac{\pi}{2} \right )cos(y)-sin(y)cos\left ( \frac{\pi }{2} \right )=sin\left ( \frac{\pi }{2}-y \right )}\\\\\mathrm{Seja\ y=2x-\frac{3\pi }{4},logo,sin(7x)=cos\left ( 2x-\frac{3\pi }{4} \right )=cos(y)=sin\left ( \frac{\pi }{2}-y \right )}\\\\\mathrm{\acute{E}\ sabido\ que:sin(m)=sin(n)\to S=\left \{ m\in\mathbb{R}\ |\ m=n+2k\pi\ \vee\ m=\pi -n+2k\pi,k\in\mathbb{Z} \right \}}\\\\\mathrm{\therefore sin(7x)=sin\left ( \frac{\pi }{2}-y \right )\to \left\{\begin{matrix} \mathrm{7x=\frac{\pi }{2}-y+2k\pi,k\in \mathbb{Z}}\\ \mathrm{7x=\pi -\frac{\pi }{2}+y+2k\pi,k\in \mathbb{Z}} \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \mathrm{x=\frac{5\pi +8k\pi}{36},k\in \mathbb{Z}}\\ \mathrm{x=\frac{-\pi +8k\pi }{20},k\in \mathbb{Z}} \end{matrix}\right.}[/latex]

A propósito, esta postagem se enquadra melhor na seção de trigonometria. Irei mudar a postagem de seção.

Olá, Betoneira. Belo nick kkkkkk! Adoro piadas desse tipo kkkkk.

É sabido que as equações sin(m)=sin(n), cos(m)=cos(n) e tan(m)=tan(n) possuem soluções padrão. Então, ao resolver uma equação trigonométrica o nosso objetivo é reduzir as nossas equações a sin(m)=sin(n), cos(m)=cos(n), tan(m)=tan(n).

A minha ideia é transformar cosseno em seno, porque neste caso eu vou cair em uma equação do tipo sin(m)=sin(n) e para equações deste tipo nós já temos a solução padrão tal como eu indiquei na minha resolução. Mas como eu faço para transformar cosseno em seno?

De cabeça eu sei que cos(y)=sin(90°-y), porém, para que a resolução não ficasse muito sucinta/direta, eu optei por explicitar como eu cheguei na igualdade cos(y)=sin(90°-y) e para isso temos de partir da identidade trigonométrica sin(x-y)=sin(x)cos(y)-sin(y)cos(x).

Note que se eu fizer x=90°, sin(x)=1 e cos(x)=0, logo, sin(90°-y)=1.cos(y)-0.sin(y)=cos(y).

Quanto a memorização da identidade trigonométrica que eu utilizei, sim, é fundamental que você a memorize (ou então aprenda a demonstrar), pois ela é bastante cobrada nos vestibulares.

Há algumas musiquinhas ou frases mnemônicas dessas identidades trigonométricas justamente para facilitar a memorização das mesmas. Dê uma procurada na internet caso você tenha problema para memorizar essas identidades.

Disponha!