soluções reais função

O número de soluções reais de x⁴ -5x³ +10 =0 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Gabarito: C

Seja f(x) = x⁴ - 5x³ + 10. Então f'(x) = 4x³ - 15x².

Pontos críticos de f:
f'(x) = 0 ⇒ 4x³ - 15x² = 0 ⇒ x = 0 ou x = 15/4

Intervalo onde f é crescente:
f'(x) > 0 ⇒ 4x³ - 15x² > 0 ⇒ x > 15/4

Intervalo onde f é decrescente:
f'(x) < 0 ⇒ 4x³ - 15x² < 0 ⇒ x < 0 ou 0 < x < 15/4

Como f é um polinômio e possui dois pontos críticos, então a equação f(x) = 0 pode ter até 3 raízes.

Mas como f possui ponto critico em x = 0, f(0) = 10 > 0 e f é decrescente para x < 0, então a equação f(x) = 0 não tem raiz negativa, o que já descarta uma das 3 possíveis raízes.

Sabendo que f(15/4) < 0, que f é crescente para x > 15/4 e decrescente para 0< x< 15/4, então concluímos, pelo teorema do valor intermediário, que f deve possuir 2 raízes positivas (uma menor que 15/4 e outra maior que 15/4).

Logo, concluímos que a equação x⁴ - 5x³ + 10 = 0 tem duas raízes reais.

Você poderia me explicar como você achou onde f' é crescente e decrescente? Fiquei bem confusa nessa parte na hora de fazer

Beatriz.macondo escreveu:Você poderia me explicar como você achou onde f' é crescente e decrescente? Fiquei bem confusa nessa parte na hora de fazer

Vc quis dizer como encontrei os intervalos onde a função f é crescente e decrescente?

Se sim, recomendo que vc dê uma estudada na parte de cálculo diferencial que explica como construir gráficos de funções usando ferramentas de derivadas (entre elas, como determinar em quais subintervalos de seu domínio uma função é crescente ou decrescente). Resumidamente, uma função f é crescente no intervalo, contido em seu domínio, onde f'(x) > 0 e decrescente no intervalo, contido em seu domínio, onde f'(x) < 0.