Fatorial
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Fatorial
por Bruna Ce Qua 15 Abr 2020, 13:58
(Fuvest-SP) O valor de m na expressão: 9 ⋅ (2m)! = 2^m ⋅ m! ⋅ 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7......(2m + 1) é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Gabarito letra d) 4.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Gabarito letra d) 4.
Bruna Ce- Jedi
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Re: Fatorial
por Mateus Meireles Qua 15 Abr 2020, 14:29
Olá, Bruna.
Irei multiplicar ambos os lados da igualdade por (2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ .. ⋅ 2m) a fim de que surja (2m+1)!, de sorte que a igualdade do enunciado é equivalente a
\begin{align*} &9\cdot (2m)! \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot ... \cdot 2m = 2^m \cdot m! \cdot (2m + 1)! \\ \Leftrightarrow \,\, & 9\cdot (2m)! \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot ... \cdot 2m = 2^m \cdot m! \cdot (2m + 1)\cdot (2m)! \\ \Leftrightarrow \,\, & 9 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot ... \cdot 2m = 2^m \cdot m! \cdot (2m + 1).\end{align*}
Agora, note que todos os fatores de 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ ... ⋅ 2m são pares e, portanto, podemos colocar o 2 em evidência.
\begin{align*} &9 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot ... \cdot 2m = 2^m \cdot m! \cdot (2m + 1) \\ \Leftrightarrow \,\, & 9 \cdot (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2\cdot 3) \cdot (2 \cdot4) \cdot (2\cdot 5) \cdot ... \cdot (2 \cdot m)= 2^m \cdot m! \cdot (2m + 1) \\ \Leftrightarrow \,\, & 9 \cdot 2^m \cdot ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot m) = 2^m \cdot m! \cdot (2m +1),\end{align*}
mas ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ m) = m! e daí
9 = 2m +1 \,\,\, \therefore \,\,\, m = 4.
Abs.
Irei multiplicar ambos os lados da igualdade por (2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ .. ⋅ 2m) a fim de que surja (2m+1)!, de sorte que a igualdade do enunciado é equivalente a
Agora, note que todos os fatores de 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ ... ⋅ 2m são pares e, portanto, podemos colocar o 2 em evidência.
mas ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ m) = m! e daí
Abs.
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Mateus Meireles- Matador
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Re: Fatorial
por Bruna Ce Qua 15 Abr 2020, 14:35
Olá Mateus, muito obrigada!
Só não entendi a primeira linha da sua resolução: como a multiplicação do lado direito da igualdade por (2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ .. ⋅ 2m) resultou naquilo ali?
Só não entendi a primeira linha da sua resolução: como a multiplicação do lado direito da igualdade por (2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ .. ⋅ 2m) resultou naquilo ali?
Bruna Ce- Jedi
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Re: Fatorial
por Mateus Meireles Qua 15 Abr 2020, 15:23
De nada =)
Do lado direito da igualdade, há o produtos dos primeiros (2m +1) ímpares: 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅(2m + 1), certo?
Quando eu acrescento os pares, (2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ .. ⋅ 2m), passamos a ter 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ .. ⋅ 2m ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅(2m + 1), organizando os termos:
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ 2m ⋅(2m + 1) = (2m+1)!
Após isso, desenvolvi (2m+1)! = (2m+1) ⋅ (2m)!, para que o termo (2m)! do lado esquerdo da igualdade fosse cancelado.
Lembre-se que n! = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.
Abs.
Do lado direito da igualdade, há o produtos dos primeiros (2m +1) ímpares: 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅(2m + 1), certo?
Quando eu acrescento os pares, (2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ .. ⋅ 2m), passamos a ter 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ .. ⋅ 2m ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅(2m + 1), organizando os termos:
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ 2m ⋅(2m + 1) = (2m+1)!
Após isso, desenvolvi (2m+1)! = (2m+1) ⋅ (2m)!, para que o termo (2m)! do lado esquerdo da igualdade fosse cancelado.
Lembre-se que n! = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.
Abs.
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