(UPE 2018) Q19 - Funções trigonométricas.

por Dr.Astro Qui 19 Set 2019, 09:53

A função y = a+b cos x, com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, -1) e tem valor máximo y = 5. Qual é o valor da soma 5a + 2b?

(UPE 2018) Q19 - Funções trigonométricas. 29019510

a)4
b)-1
c)3
d)-2
e)6
Não tenho o gabarito

Fiz dese modo:
Máx=5
Mín=-1

Eu sei que a soma e a diferença entre a e b darão o valor máximo e o mínimo:
a+b=5
a-b=-1

eu achei a=2 e b=3
Mas o que a questão pede(5a+2b) não tem nas alternativas.
O que estou errando?

por Mathematicien Qui 19 Set 2019, 10:24

Perceba que é o gráfico é derivado de y = -cos(x). Em outras palavras, inverta o gráfico e resolva normalmente. Depois, multiplique tudo por -1.

A máxima do invertido é 1, e a mínima é -5.

a_i + b_i = 1
a_i - b_i = -5

a_i = -2
b_i = 3

-y = -2 + 3cos(x)
y = 2 - 3cos(x)

"a" e "b" têm que ser opostos a "a_i" e b_i"

5a + 2b = 10 - 6 = 4

por Dr.Astro Qui 19 Set 2019, 10:32

As alternativas mostradas são essas. Irei verificar o gabarito. Obrigado pela resolução!

por **Vitor Ahcor** Qui 19 Set 2019, 10:36

A função g(x) = cosx é decrescente no intervalo [0,pi/2], porém, como no gráfico a função y = a + bcosx é crescente, devemos ter b<0, sendo assim, segue que:

a+b = -1
a-b = 5

.: a = 2 e b =-3

.: 5a + 2b = 4.

por Mathematicien Qui 19 Set 2019, 11:34

Agora sim! Me confundi no "a" e "b". Como eu havia espelhado o gráfico, achei o "a da função espelhada no eixo x" e "b da função espelhada no eixo x". Daí faltou trocar o sinal.

A resposta é 4 mesmo. Valeu, Vitor!