Geometria Plana - Circunferência e quadriláteros

por PunishedThiago Seg 19 Ago 2019, 17:13

(Fuvest/92) Considere uma circunferência de centro O e raio 2 cm tangente à reta t no ponto T. Seja x a medida do ângulo AÔT , onde A é um ponto da circunferência e 0º < x < 90º . Calcule, em função de x, a área do trapézio OABT sendo B o ponto da reta t tal que AB é paralelo a OT.

Geometria Plana - Circunferência e quadriláteros Sem_tz11

por GBRezende Seg 19 Ago 2019, 17:46

A área é dada por (OT + AB)*BT/2.

Vamos chamar o raio OA de R, e dps substituímos por R = 2
De cara temos BT = Rsen(x)
Temos que OT também é raio da circunferencia, logo OT = R

Nos falta AB. Perceba que AB = OT - OAcos(x)
AB = R - Rcos(x)
Portanto, Área = [R + R - Rcos(x)]*Rsen(x)/2 = [2R-Rcos(x)]*Rsen(x)/2
R(2-cos(x))*Rsen(x)/2 = R²sen(x)(2-cos(x))/2

por **Elcioschin** Seg 19 Ago 2019, 18:20

Apenas para clarear a solução:

Seja A' o pé da perpendicular de A sobre OT

OA = OT = R = 2
OA' = R.cosx ---> OA' = 2.cosx
AA' = R.senx
BT = AA' ---> BT = R.senx ---> altura do trapézio

AB = A'T ---> AB = OT - OA' ---> AB = 2 - 2.cosx ---> base menor do trapézio (a base maior é OT = 2)