Equação das retas equidistantes de um ponto

por **Emanuel Dias** Sex 16 Ago 2019, 05:59

Determine as equações das retas que passam por A(2; -3) e que distam \delta = 5 do ponto
B(1; 4).

Resposta: 4x - 3y - 17 = O e 3x + 4y + 6 = O

por GBRezende Sex 16 Ago 2019, 06:44

A única forma que consegui pensar é achar o L.G dos pontos que distam 5 de B, que é a circunferência (x-1)²+(y-4)²=25

As retas que passam por A tem equação y=ax+b
-3=2a+b
a = -(b+3)/2
Terão equação y=-(b+3)x/2 +b

Substituir na eq. da circunferência. Mas é bastante braçal. Eu também não tenho certeza se deverá ser feito delta = 0 ou delta > 0.

por **Emanuel Dias** Sex 16 Ago 2019, 08:52

GBRezende escreveu:A única forma que consegui pensar é achar o L.G dos pontos que distam 5 de B, que é a circunferência (x-1)²+(y-4)²=25

As retas que passam por A tem equação y=ax+b
-3=2a+b
a = -(b+3)/2
Terão equação y=-(b+3)x/2 +b

Substituir na eq. da circunferência. Mas é bastante braçal. Eu também não tenho certeza se deverá ser feito delta = 0 ou delta > 0.

Eu acredito que exista um jeito bem simples de resolver. Só não estamos enxergando. E arrisco a dizer que usando a fórmula da distância entre reta e ponto, pois esse exercício está 2 capítulos antes de falar sobre equação da circunferência.

por **Elcioschin** Sex 16 Ago 2019, 11:58

Os dois métodos são válidos:

No método do colega GBRezende deve-se fazer ∆ = 0, para as duas retas tangenciarem a circunferência, distando, portanto, 5 unidades do centro da circunferência

No método sugerido pelo colega Emanuel Dias: y = a.x + b ---> a.x - y + b = 0

Passam por A(2, -3) ---> - 3 = a.2 + b ---> b = - 2.a - 3

d = |a.xB + (-1).yB + b|/√[a² + (-1)²] ---> 5 = |a.1 - 1.4 - 3 - 2.a|/√(a² + 1) ---> |- a - 7| = 5.√(a² + 1)

Por favor, confiram e completem, calculando os dois valores de a, b