ANPAD

Considere as funções reais f e g definidas algebricamente por f(x) = √(-x) e g(x) = log₃(1-x²) sob seus respectivos domínios de validade D_f = {x∈ℝ / f(x) está definida} e Dg = {x∈ℝ / g(x) está definida}. Seja D = {x∈ℝ/(f/g)(x) está definida}. O conjunto D é igual ao conjunto

r: (-1,0)

Dividindo f(x) por g(x) para obter (f/g)(x) temos:

\frac{(-x)^{-1/2} }{\log _{3}{(1-x^{2})}} = (f/g)(x)

Sendo o domínio para x nos reais, analisemos as condições(limites) e achemos o intervalo em que a função está definida.

Para (-x)^{-1/2}, temos que x = 0 ou x<0 pois caso contrário a imagem se encontraria nos complexos e não nos reais, portanto nossa primeira condição éx\leq0.


Para \log _{3}{(1-x^{2})}, temos que : 3^{\log _{3}{(1-x^{2})}} = 1 - x^{2}.

Então como \log _{3}{(1-x^{2})} tem que ser diferente de 0, (1 - x²) tem que ser diferente de 1, ou ainda melhor,  basta que na expressão (1 - x²) tenha x>-1, pois se x = -1 então (1 - x²) = 0 (absurdo), e para x < - 1 a expressão é sempre negativa (outro absurdo pois para "a" real 3^{a}>0). Portanto x tem que ser maior que -1.

Com nossas duas análises conclui-se que x > -1 e x < 0 portanto o conjunto D é dado por:

D = (-1,0)

Apenas uma pequena correção em g(x) = log₃(1 - x²) ---> 

Restrição: g(x) ≠ 0 (está no denominador) ---> x ≠ -1 e x ≠ 1

Restrição: 1 - x² > 0 ---> x² - 1 < 0 ---> Raízes x' = -1 e x" = 1

Parábola com a concavidade voltada para cima: ela é negativa entre as raízes: -1 < x < 1

Fazendo a interseção com x < 0 da função f(x), temos:

-1 < x < 0 --> (-1, 0)