Divisão - (inteiros consecutivos)

Demonstre que o produto:
P = (n + 1)(n +2)...(2n)
de n números inteiros consecutivos é divisível pelo produto dos n primeiros números ímpares. Qual é o quociente?

Gabarito:

Spoiler:

Esta questão pode ser movida para o fórum C.Q.D.?

Alguém consegue responder?

Perceba que P pode ser escrito como (2n)!/n!.

Se tomarmos um número x temos duas possibilidades, ele pode ser ímpar(I) ou par(II)

I- total de ímpares de 1 a x = (x-1)/2

II - total de ímpares de 1 a x = x/2

Agora tentemos achar o produto desses n primeiros ímpares:

situação II)

começaremos por um número baixo:

1.2.3.4.5.6 ---- para retirarmos todos os pares deveremos dividir pelo produto deles:

6!/(2.4.6) =6!/(3!.2^3)

tentemos achar uma forma geral:

se queremos n ímpares, x/2=n e assim x=2n

o produto dos n ímpares será:  (2n)!/(n!.2^n)


fazendo o quociente: 


[latex]Q=\frac{(2n)!}{\frac{(n!)(2n)!}{2^{n}n!}}=2^{n}[/latex]


Agora tente resolver para a primeira situação.

O produto dado é: P = (n+1)(n+2)...(2n)
O produto dos n primeiros números ímpares é dado por: Q = 1 * 3 * 5 * ... * (2n-1)


Vamos escrever o produto Q como uma expressão de fatorial: Q = 1 * 3 * 5 * ... * (2n-1) = (2n)! / (2 * 4 * 6 * ... * 2n) = (2n)! / 2^n * (n!)


A segunda igualdade acima vem do fato de que estamos dividindo o numerador e o denominador por 2, 4, 6, ..., 2n.


Então, temos:
P / Q = [(n+1)(n+2)...(2n)] / [(2n)! / 2^n * (n!)]
Simplificando, obtemos:
P / Q = (n+1)(n+2)...(2n) * 2^n * (n!) / (2n)!
Cancelando os termos em comum, temos:
P / Q = 2^n / 1 * 3 * 5 * ... * (2n-1)
Mas o denominador é exatamente igual a Q, então:
P / Q = 2^n / Q
Multiplicando ambos os lados por Q, obtemos:
P = 2^n * Q


E como Q é o produto dos n primeiros números ímpares, temos:
Q = 1 * 3 * 5 * ... * (2n-1) = (2n-1)!! = (2n-1) * (2n-3) * ... * 3 * 1


Portanto, o quociente é:
P / Q = 2^n