Resto da divisão [2]

por **JoaoGabriel** Sáb Jul 23 2011, 09:49

Relembrando a primeira mensagem :

Calcular o resto da divisão de $5^{131} + 7^{131} + 11^{131} + 13^{131}$ por 9.

Resposta 0

Eu pensei assim:

$5 + 7 + 11 + 13 = 36$

$\\36 \equiv 0 (mod9) \to 36^{131} \equiv 0 (mod9)$

Tá certo?

por **JoaoGabriel** Dom Jul 24 2011, 10:06

Eu pensei assim:

2^50 = (2^3)^50/3 certo?
Ou seja 8^50/3

Fazendo 8 ≡ n (mod7) temos n = 1
Elevando a 50/3
8^50/3 ≡ 1 (mod7)

substituindo fica:

1 - 1 ≡ x(mod7)
0 ≡ x (mod 7), dando x = 0, mas a resposta é 3.
Por que estou errado?

por Pablo Simões Dom Jul 24 2011, 10:42

A resposta é 3?

por **JoaoGabriel** Dom Jul 24 2011, 10:48

De acordo com wolfram sim, como voce fez?

por Pablo Simões Dom Jul 24 2011, 10:55

por Pablo Simões Dom Jul 24 2011, 11:22

Mas também vale lembrar que 41^65/7 admite um resto positivo.

Veja:
$41\equiv 6\ (mod\ 7)$
$\\41^{65}\equiv 6^{65}\ (mod\ 7)$
E perceba que:
$\\6^{2}\equiv 1 (mod\ 7)$
Então:
$\\6^{64}.6\equiv 1.6\ (mod\ 7) \\6^{65}\equiv 6\ (mod\ 7)$

Logo,
$\\41^{65}\equiv 6\ (mod\ 7)$

por **Adam Zunoeta** Dom Jul 24 2011, 13:30

Link de mais material =]

http://www.gilsonresolve.com.br/#teoria-matematica

por **Kongo** Dom Jul 24 2011, 14:19

Acho que eu sou muito burro, tentei aprender esse negócio ae, não aprendi nem a pau.
hASUHas

por **JoaoGabriel** Dom Jul 24 2011, 14:31

Somos dois meu amigo, nunca apanhei tanto para aprender algo! haha

por Pablo Simões Dom Jul 24 2011, 17:08

husahsuashua'

Eu havia esquecido da apostila Iniciação à Aritmética, da OBMEP.
Vale a pena conferir:
http://www.obmep.org.br/export/sites/default/arquivos/apostilas_pic2008/Apostila1-aritmetica.pdf
(A parte de congruência se inicia a partir da pág. 81 [A Aritmética dos Restos])

Abraço!