Resto da divisão [2]

por **JoaoGabriel** Sáb 23 Jul 2011, 09:49

Calcular o resto da divisão de $5^{131} + 7^{131} + 11^{131} + 13^{131}$ por 9.

Resposta 0

Eu pensei assim:

$5 + 7 + 11 + 13 = 36$

$\\36 \equiv 0 (mod9) \to 36^{131} \equiv 0 (mod9)$

Tá certo?

por **abelardo** Sáb 23 Jul 2011, 19:05

Cara, só tenho uma ideia sobre congruência, não conheço as propriedades operatórias dessa ferramenta. Eu procuraria saber o resto de cada parcela divido por 9 e depois somaria e dividiria novamente.

Você está usando que material para aprender essa poderosa ferramenta?

por **Euclides** Sáb 23 Jul 2011, 19:28

Assim não funciona, JoãoGabriel. Veja um caso simples:

$\\5+7\text{ resto da divisão por 3}\\5=1\times 3+\boldsymbol{2}\\7=2\times 3+\boldsymbol{1}\\\\7+5=12=4\times 3+\boldsymbol{0}$

Porém:

$\\5\equiv 2(mod3)\\7\equiv 1(mod3)\\\\5+7\equiv 2+1(mod3)\\5+7\equiv 0(mod3)$

por **Euclides** Sáb 23 Jul 2011, 19:32

Algum material

http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/RPM10_1987_33a40.pdf

www.nunesmoraes.com.br/TDS%25202011%2520RONY/TD%252002_Olimp%25EDada_%25C1lgebra_Congru%25EAncia_N%25203_2011.pdf+congruencia+resto+da+divis%C3%A3o&hl=pt-BR&gl=br&pid=bl&srcid=ADGEEShS3ZC58bQMlrODvu1f_67m1h0TrMZAiDb-WDmy8XxPCWdpu8DY9aQf-oPE5tpN2A9FIRmtzijFG1SGwluSLeWcCp1G-vaAqvvDl8evHsbHHFwQ_2s4ATY1So9ciuRUJ8_b8TCj&sig=AHIEtbQ6aN_pyqUuMoarA9wA8mBu_AUDHQ" target="_blank" rel="nofollow">congruência

congruência II

por Pablo Simões Sáb 23 Jul 2011, 19:58

E para complementar o material citado pelo mestre Euclides:

Uma excelente apostila do Rumo ao ITA.
- http://www.scribd.com/doc/44564105/Teoria-dos-Numeros-Congruencia-pdf

E outras apostilas do Sistema SEI:
- http://www.sistemasei.com.br/port/site_produtos_detalhes.asp?id_tb_produtos=1545&id_parent_produtos=1535&id_tb_categorias_nivel_1=775

por **Euclides** Sáb 23 Jul 2011, 20:13

https://pir2.forumeiros.com/t10341-teoria-dos-numeros-congruencia-uma-abordagem-objetiva

por **JoaoGabriel** Dom 24 Jul 2011, 08:30

Eu tô estudando pela apostila do rumo ao ita, eu entendo a teoria mas não consigo os exercícios rsrs Acho este assunto bem difícil!

por **JoaoGabriel** Dom 24 Jul 2011, 08:35

Pablo, gostei muito da sua resolução Very Happy

Gostaria apenas de confirmar uma coisa:

Veja se eu entendi certo:

a ≡ b (mod m) --> (a - b) é divisível por m.

Então por isso que 5 ≡ -4 (mod9), pois 5 - (-4) = 9 que é divisível por 9.

O mesmo para:

7 ≡ -2 (mod9), pois 7-(-2) = 9

É isso ou ainda estou no erro?

por Pablo Simões Dom 24 Jul 2011, 09:52

Sim. É isso aí.

Olha aquele seu outro post:

32 ≡ -1 (mod 11)
32-(-1)|11
33|11

por **JoaoGabriel** Dom 24 Jul 2011, 09:55

Pablo, dê uma olhada nessa:

(2^50 + 41^65) quer saber o resto quando divide por 7.

Eu comecei assim:

2^50 + 41^65 ≡ x (mod7)

41 = 7*6 - 1
Ai eu substituí:

2^50 - 1 ≡ x (mod 7)

E esse 2^50? Como proceder para eliminá-lo?