Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.

Relembrando a primeira mensagem :

Link:https://drive.google.com/file/d/1NN6EcFNDuHvLlst-Gy9GIlIj2AvlebfE/view
O John Carter enviou aqui no fórum alguns simulados do IME/ITA e algumas listas, um dos simulados de matemática não tem gabarito então achei uma boa solucionar ele.
1. Resolvida por Leo Consoli
2. Resolvida por Thanos
3. Resolvida por Leo Consoli
4. Resolvida por Matheus Tsilva
5. Resolvida por Giovana Martins
6. Resolvida por fantecele88
7. Resolvida por Giovana Martins
8. Resolvida por Leo Consoli
9. Resolvida por Giovana Martins
10. Resolvida por fantecele88
Vou abrir fazendo a questão 1:
Prove que a soma
1^k+2^k+3^k+....+n^k
em que n é um inteiro qualquer e k é impar, é divisível por 1+2+3+...+n.
A questão cometeu o erro de não especificar que k tem que ser inteiro e positivo, pois para inteiros negativos ou números fracionários isso não é mais verdade.
Devemos provar que sempre existe um numero (w) que multiplicado por 1+2+3+...+n resulte em 1^k+2^k+3^k...+n^k, já que o resto da divisão é zero.
Sendo k um numero impar podemos escreve-lo na forma k=2x+1, sendo x um numero natural qualquer.
Por indução se o resultado valer para x=0 e para x=1 valera para todo k tal que k seja impar.
Para x=0 é automático que o valor w é igual a 1.
Para x=1, temos que provar que existe um valor que multiplicado por uma soma de termos, resulte na soma de seus cubos.
Porem sabemos que:
\\\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\wedge \sum_{k=1}^{n}k^3=\left [\frac{n(n+1)}{2}  \right ]^2
Substituindo esses valores:
\left [\frac{n(n+1)}{2}  \right ]^2=w\times\frac{n(n+1)}{2}  \rightarrow w=\frac{n(n+1)}{2}
Logo para outros valores de x o resultado se mantem.

Vdd
Acho que em vez de b seria a-b
Vlw

Pq na 7 vc disse que |z|=1 ?

Matheus Tsilva escreveu:Pq na 7 vc disse que |z|=1 ?

 Fiz uma pequena mudança no meu comentário. hhaha

Boa, finalmente alguém resolveu a 4.
A prova foi encerrada agora, parabéns e obrigado a todos que participaram.
(Por algum motivo não consigo editar a postagem original para marcar como resolvida, talvez seja devido ao tempo da postagem, de qualquer forma, considerem resolvida).

"(Por algum motivo não consigo editar a postagem original para marcar como resolvida, talvez seja devido ao tempo da postagem, de qualquer forma, considerem resolvida)."

Exato.

Postagem editada.