Inequação Logarítmica

por GMotta Ter 19 Fev 2019, 11:16

log2 x ⋅ log3 2x + log3 x ⋅ log2 3x ≥ 0.

log_{2}X\cdot log_{3}2X + log_{3}X\cdot log_{2}3X\geqslant 0

gab. (0, 1/√6] ∪ [1,+∞ )

por **Elcioschin** Ter 19 Fev 2019, 13:37

Restrição: x > 0

(log₂x).(log₃2 + log₃x) + log₃x.(log₂3 + log₂x) ≥ 0 ---> Mudando base 3 para base 2:

(log₂x).(1/log₂3 + log₂x/log₂3) + (log₂x/log₂3).(log₂3 + log₂x) ≥ 0

Como log₂3 > 0 podemos multiplicar tudo por ele

(log₂x).(1 + log₂x) + log₂x.(log₂3 + log₂x) ≥ 0

log₂x + (log₂x)² + log₂3.log₂x + (log₂x)² ≥ 0

2.(log₂x)² + (1 + log₂3).log₂x ≥ 0 ---> log₂x.(2.log₂x + 1 + log₂3)≥ 0

Raízes: log₂x = 0 ---> x = 1---> 2.log₂x + 1 + log₂3 = 0 ---> calcule x

Temos uma função do 2º grau (parábola com a concavidade voltada para cima. Ela é positiva para valores exteriores à raízes.

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