Sequência de quadrados perfeitos

Qual é o valor mínimo do inteiro n>1 tal que a média aritmética de  é um quadrado perfeito.

a)330
b)333
c)335
d)337
e)357

Primeiramente , observe.:

(1^2; 2^2; 3^2; ... ; n^2).

Fazendo as primeiras exponenciais , temos:

(1; 4; 9; 16; 25; ... ; n^2) (i)

Vamos agora , fazer a seguinte mudança :

y(n)=x(n+1)+x(n).

Em que 'y(n)' é o termo da nova sequência , na posição "n" e 'x(n)' é o termo da sequência (i) , teremos para a nova sequência então :

(3; 5; 7; 9; ... ; n^2-(n-1)^2)

Observe que a nova sequência , exposta acima , é uma P.A de razão 2.

Ou seja , concluímos que a sequência (i) é uma P.A de ordem superior , sendo então de segunda ordem.

Vamos agora determinar a soma geral para 'n' termos , soma esta para ser aplicada na sequência (i).

Como a P.A é de segunda ordem , a fórmula da soma será de terceiro grau , e o termo independente é igual a 0.

Teremos então para 'n' termos a fórmula :

S(n)=a.(n)^3+b.(n)^2+c.(n)

Para determinar 'a,b,c' devemos colocar 'n=1,2,3' , tendo três equações e três incógnitas.

Determinando S(n) teremos :

S(n)=n.(2n+1).(n+1)/6

A média aritmética , para n termos será :

M.A= S(n)/n

Mas M.A é um quadrado perfeito , chamado aqui de x^2.:

6.x^2=(2n+1)(n+1)

Você joga os valores das alternativas e vê qual bate.

Matheus Tsilva escreveu:Primeiramente , observe.:

(1^2; 2^2; 3^2; ... ; n^2).

Fazendo as primeiras exponenciais , temos:

(1; 4; 9; 16; 25; ... ; n^2) (i)

Vamos agora , fazer a seguinte mudança :

y(n)=x(n+1)+x(n).

Em que 'y(n)' é o termo da nova sequência , na posição "n" e 'x(n)' é o termo da sequência (i) , teremos para a nova sequência então :

(3; 5; 7; 9; ... ; n^2-(n-1)^2)

Observe que a nova sequência , exposta acima , é uma P.A de razão 2.

Ou seja , concluímos que a sequência (i) é uma P.A de ordem superior , sendo então de segunda ordem.

Vamos agora determinar a soma geral para 'n' termos , soma esta para ser aplicada na sequência (i).

Como a P.A é de segunda ordem , a fórmula da soma será de terceiro grau , e o termo independente é igual a 0.

Teremos então para 'n' termos a fórmula :

S(n)=a.(n)^3+b.(n)^2+c.(n)

Para determinar 'a,b,c' devemos colocar 'n=1,2,3' , tendo três equações e três incógnitas.

Determinando S(n) teremos :

S(n)=n.(2n+1).(n+1)/6

A média aritmética , para n termos será :

M.A= S(n)/n

Mas M.A é um quadrado perfeito , chamado aqui de x^2.:

6.x^2=(2n+1)(n+1)

Você joga os valores das alternativas e vê qual bate.

 
Valeu parceiro, consegui fazer.
Uma última pergunta: existe alguma maneira de chegar na resposta sem ser por tentativa? Eu fiz com a calculadora, não tive paciência de fazer à mão. No contexto de uma prova, fazer cada uma das multiplicações e depois fatorar demoraria demais.