Quadrados perfeitos

A população de lagoa santa era um quadrado perfeito.Depois, com um aumento de 100 habitantes ,a população passou a ser uma maior que unidade maior que um quadrado perfeito.Depois ,com outro aumento de 100 habitantes,a população voltou a ser um quadrado perfeito.A população original era um múltiplo de:
a) 3
b) 7
c) 9
d) 11
e) 17

O gabarito está como letra B.

x² = População inicial

P = x² ---> P' = x² + 100 = y² + 1 ---> P" = x² + 100 = z²


x² + 100 = y² + 1 ---> y² - x² = 99 ---> (y - x).(y + x) = 3².11

Pares de divisores positivos de 99 ---> (1, 99), (3, 33), (9, 11)

a) (y - x).(y + x) = 1.99 ---> y - x = 1 e y + x = 99 ---> y = 50  ---> x = 49

b) (y - x).(y + x) = 3.33 ---> y - x = 3 e y + x = 33 ---> y = 18  ---> x = 15

c) (y - x).(y + x) = 9.11 ---> y - x = 9 e y + x = 11 ---> y = 10  ---> x = 1

x² + 200 = z²

d) Para x = 49 ---> 49² + 200 = z² ---> z² = 2601 ---> z = 51 ---> OK

d) Para x = 15 ---> 15² + 200 = z² ---> z² = 425 ---> z ~= 20,6 ---> não serve

d) Para x = 1 ---> 1² + 200 = z² ---> z² = 201 ---> z ~= 13,2 ---> não serve

Solução ---> x = 49 ----> P = 49² ---> P = (7²)² ---> P = 7⁴ ---> P é divisível por 7

amms escreveu:A população de lagoa santa era um quadrado perfeito.Depois, com um aumento de 100 habitantes ,a população passou a ser uma maior que unidade maior que um quadrado perfeito.Depois ,com outro aumento de 100 habitantes,a população voltou a ser um quadrado perfeito.A população original era um múltiplo de:
a) 3
b) 7
c) 9
d) 11
e) 17  

O gabarito está como letra B.

Boa tarde,

Inicialmente a população era um quadrado perfeito e após aumentar 2 vezes em 100 habitantes, voltou a ser um quadrado perfeito.

P² = população inicial
Q² = população final

Q² - P² = 200
(Q+P)(Q-P) = 200

Tanto a soma dos fatores Q+P e Q-P, como sua diferença, são números pares:

Soma:
Q + P
Q – P
------
2Q

Diferença
Q + P
-Q + P
--------
..... 2P

Procuremos conhecer quais são os divisores de 200:
200 = 2³.5²

Divisores:
_1___2___4___8
_5__10__20__40
25__50_100_200

Formando pares de divisores cujo produto perfaça 200, vem:
1*200
2*100
4*50
5*40
8*25
10*20

Destes, devemos desprezar os pares cuja soma de seus componentes seja ímpar:
1*200 (soma 201)
5*40 (soma 45)
8*25 (soma 33)

Restarão:
2*100
4*50
10*20
Analisando a 1ª linha, vem:
SOMA:
Q + P = 100
Q - P = 2
--------------
2Q = 102
Q = 51

DIFERENÇA:
Q + P = 100
-Q + P = -2
---------------
..... 2P = 98
....... P = 49

Analisando a 2ª linha:
SOMA:
Q + P = 50
Q – P = 4
------------
2Q = 54
Q = 27

DIFERENÇA:
Q + P = 50
-Q + P= -4
-------------
.... 2P = 46
...... P = 23

E a 3ª linha:
SOMA:
Q + P = 20
Q – P = 10
-------------
2Q = 30
Q = 15

DIFERENÇA:
Q + P = 20
-Q + P =-10
--------------
..... 2P = 10
....... P = 5

Assim, os possíveis valores iniciais da população poderão ser:
P = 49
P = 23
P = 5

49 (múltiplo de 7) é a única solução que atende às alternativas.

Alternativa (B)



Um abraço.

Agradeço a ajuda amigos Ivomilton e Elcioschin!