Dúvida na igualdade apos derivar

Eu tenho uma dúvida bem besta por sinal, porém não encontrei em nenhum livro, à medida que procurei em poucas fontes e uso um livro não muito conhecido e referenciado.....

Se eu tenho uma igualdade e derivo ambos os lados, a igualdade SEMPRE será mantida???? O mesmo com limite, integral e calculo infinitesimal acontece?????

Já em física, ao integrar uma expressão, como saber qual constante adicionar?? Pois já resolvi exercícios de integrar ( INTEGRAR EXISTE???kkk) a velocidade de um móvel, em que mudando o referencial mudava a constante e a igualdade não era satisfeita......

A igualdade é diferente antes e após derivar, isto é:

y = f(x) é uma uma função (é uma igualdade)

y' = f '(x) é a derivada de y em relação a x ---> é outra função: é a função derivada (é outra igualdade)

Por exemplo: S = So + Vo.t + (1/2).a.t² é a função espaço

Derivando, temos S' = Vo + a.t --->  a esta derivada dá-se o nome de função velocidade: V = Vo + a.t

Ao integrar esta função velocidade, temos:

∫V.dt = ∫(Vo + a.t).dt = Vo.t + (1/2).a.t² + k

Note que neste caso a constante é óbvia (k = So), mas nem sempre é assim. Quando não se sabe a que se refere a função a ser integrada, a constante vai depender de condições de contorno, para ser definida. Assim são necessárias mais informações a respeito, para se definir qual é a constante.

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