Teoria dos Números

(ARGENTINA) Um número a de três cifras é raro se existe um número b de duas cifras tal que ao dividir a por b, o resto é igual ao cubo do quociente. Por exemplo, 100 é raro porque ao dividí-lo por 46, o quociente é 2 e o resto é 8=2³. Quantos números raros de três cifras existem?


Tentei resolver essa questão, mas o só consigo achar que há 144 numeros raros de três cifras, sendo que o gabarito diz 113.

Irei chamar o número de 3 cifras de "abc" e o de duas cifras de "de", perceba que o quociente só pode ser um número x tal que 1 ≤ x ≤ 9, pois perceba que se x ≥ 10 teremos x³ ≥ 1000, que acaba passando o número de 3 cifras, o que não pode ocorrer, agora vamos analisar os casos para x:


abc = x.de + x³


Para x = 1:
abc = 1.de + 1
É fácil ver que o único caso é x = 100, portanto temos apenas 1 número possível.


Para x = 2:
abc = 2.de + 8
Os possíveis valores para "de" são aqueles tais que 99 ≥ de ≥ 9, dessa forma temos um total de 91 casos, porém "de" não pode ser igual a 9, então o total de casos é 90, perceba também que para de < 46 iremos ter que "2.de + 8" < 100, sendo eles menores que um número de 3 dígitos, devemos tirar esses casos, sendo estes um total de 37 casos, então o total de casos é 53.


Para x = 3:
abc = 3.de + 27
Os possíveis valores para "de" são aqueles tais que 99 ≥ de ≥ 28, dessa forma temos um total de 73 casos.

Para x = 4
abc = 3.de + 64
Os possíveis valores para "de" são aqueles tais que 99 ≥ de ≥ 65, dessa forma temos um total de 35 casos.


Para x = 5
abc = 3.de + 125
125 é maior que de, pois de tem apenas dois dígitos, o que não pode ocorrer, então para os casos de 5 a 9 não possuímos números raros, então só devemos estudar os casos de 1 a 4.


Perceba que estudamos os casos de 1 a 4, mas devemos ainda retirar os números que se repetem entre si, caso não houvesse esse bloqueio iriamos ter um total de 1 + 53 + 73 + 35 = 162 casos.
Primeiro vamos analisar os que se repetem entre 2 e 3.

O maior número raro com x = 2 é o 206 e o menor número raro para x = 3 é o 111, então devemos tirar os números pares que fazem parte de ambas as sequências e que pertençam ao intervalo de 111 a 206 que é um total de 16 números.

O 100 aparece para x = 2 e x = 1, então devemos tirar 1 caso.

Agora vamos analisar os casos para x = 3 e x = 4, o maior raro para x = 3 é o 324 e o menor raro para x = 4 é o próprio 324, então temos apenas 1 caso se repetindo, então devemos retirar apenas 1 caso. 

Então o total de raros é 162 - 16 - 1 - 1 = 144.

Aparentemente eu também só encontrei o 144, não consigo achar outros casos para diminuir esse valor.

Agora com essa resolução creio que o gabarito esteja errado. Valeu!