teoria dos numeros 2

. Quantos pares de inteiros positivos A e B existem cujo mínimo múltiplo comum é 126000? 
Considere o par (A,B) como sendo o mesmo que (B,A)

126 000 = 2⁴.3².5³.7¹

Número de divisores positivos de 126 000 = (4 + 1).(2 + 1).(3 + 1).(1 + 1) = 120

Número de pares ---> n = 120/2 = 60

desculpe mas nao entendi o o porque

Não entendi o que você não entendeu: você não completou sua frase.
Qual parte exatamente você não entendeu?

Estou supondo, evidentemente que você saiba a teoria básica sobre:

1) Fatoração de números
2) Fórmula para descobrir a quantidade de divisores de um número, a partir da fatoração dele.

Elcioschin escreveu:Não entendi o que você não entendeu: você não completou sua frase.
Qual parte exatamente você não entendeu?

Estou supondo, evidentemente que você saiba a teoria básica sobre:

1) Fatoração de números
2) Fórmula para descobrir a quantidade de divisores de um número, a partir da fatoração dele.

Boa tarde, Elcio.

Não sei se o amigo notou que a questão diz:
"...cujo mínimo múltiplo comum é 126000"



Um abraço.

Tens razão, meu caro amigo: esqueci-me de considerar que cada termo de um par não pode ter divisores comuns com o outro termo: eles não podem ser, ao mesmo tempo, múltiplos de 2, 3, 5

Assim, os pares possíveis devem levar em conta sempre o maior expoente de cada um deste divisores. No caso do fator 2 o expoente 4, no caso do fator 3 o expoente 2 e, no caso do fator 5 o expoente 3.

16¹.9¹.125¹ ---> n = (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) ---> n = 8

Eis os 8 pares:

(1, 126000), (7, 18000), (9, 14000), (16, 7875), (63, 2000), (112, 1125),
(125, 1008), (144, 875)

Elcioschin escreveu:Tens razão, meu caro amigo: esqueci-me de considerar que cada termo de um par não pode ter divisores comuns com o outro termo: eles não podem ser, ao mesmo tempo, múltiplos de 2, 3, 5

Assim, os pares possíveis devem levar em conta sempre o maior expoente de cada um deste divisores. No caso do fator 2 o expoente 4, no caso do fator 3 o expoente 2 e, no caso do fator 5 o expoente 3.

16¹.9¹.125¹ ---> n = (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) ---> n = 8

Eis os 8 pares:

(1, 126000), (7, 18000), (9, 14000), (16, 7875), (63, 2000), (112, 1125),
(125, 1008), (144, 875)

Boa noite,

Fiz de outro modo:

D = mdc(A,B)
A/D = p  → A = p.D
B/D = q  → B = q.D

126000 = 2⁴ . 3² . 5³ . 7

mmc(A,B)= p.q.D

Assim, temos que escolher dois números primos entre si (p,q) e, a partir desse par, calcular o valor de D, o qual será igual ao produto dos demais fatores.

p * q * D
2 * 3 * 21000 → A,B = 6,21000
2²* 3 * 10500 → A,B = 12,10500
2³* 3 * 5250 → A,B = 24,5250
2⁴* 3 * 2625 → A,B = 48,2625
2 * 3² * 7000 → A,B = 18,7000
2²* 3² * 3500 → A,B = 36,3500
2³* 3² * 1750 → A,B = 72,1750
2⁴* 3² * 875 → A,B = 144,875
2 * 5 * 12600 → A,B = 10,12600
2²* 5 * 6300 → A,B = 20,6300
2³* 5 * 3150 → A,B = 40,3150
2⁴* 5 * 1575 → A,B = 80,1575
2 * 5² * 2520 → A,B = 50,2520
2²* 5² * 1260 → A,B = 100,1260
2³* 5² * 630 → A,B = 200,630
2⁴* 5² * 315 → A,B = 400,315
2 * 5³ * 504 → A,B = 250,504
2²* 5³ * 252 → A,B = 500,252
2³* 5³ * 126 → A,B = 1000,126
2⁴* 5³ * 63 → A,B = 2000,63
2 * 7 * 9000 → A,B = 14,9000
2²* 7 * 4500 → A,B = 28,4500
2³* 7 * 2250 → A,B = 56,2250
2⁴* 7 * 1125 → A,B = 112,1125

E assim por diante, existem inúmeras soluções.




Um abraço.

Ivomilton

Vamos pegar o 1º par que você mostrou:

2 * 3 * 21000 → A,B = 6,21000

mmc(A,B) = 21000 ---> e não mmc = 126000 (embora múltiplo não é o mínimo)

E isto vale para todos os pares em que A e B tem um fator comum (neste caso 6).

Na sua lista apenas 3 pares atendem: (63, 2000), (112, 1125), (144, 875). Estes fazem parte da minha lista de 8 pares.

Elcioschin escreveu:Ivomilton

Vamos pegar o 1º par que você mostrou:

2 * 3 * 21000 → A,B = 6,21000

mmc(A,B) = 21000 ---> e não mmc = 126000 (embora múltiplo não é o mínimo)

E isto vale para todos os pares em que A e B tem um fator comum (neste caso 6).

Na sua lista apenas 3 pares atendem: (63, 2000), (112, 1125), (144, 875). Estes fazem parte da minha lista de 8 pares.

Bom dia, caro Elcio.

Entendi.
Tem alguns outros que calculei depois; veja se constam de sua lista:
(14000,7875) provêm de 16x875 e 9x875.
(18000,1008) provêm de 125x144 e 7x144.
(144,7875) provêm de 16x9 e 875x9.


Aguardarei retorno seu.

Eis os 8 pares:

(1, 126000), (7, 18000), (9, 14000), (16, 7875),
(63, 2000), (112, 1125), (125, 1008), (144, 875)

Faltou apenas o par (1, 126000) na sua lista