Determine a condição (log)

por Carolziiinhaaah Sáb 18 Jun 2011, 03:40

Determinando-se a condição sobre t para que a equação $4^{x} - (ln \; t+3).\: 2^{x} - ln\; t= 0$ admita duas raízes reais e distintas, obtemos:

gabarito: $e^{-1} < t < 1$

por JOEL BORGES Sáb 18 Jun 2011, 16:59

Carolziiinhaaah escreveu:Determinando-se a condição sobre t para que a equação $4^{x} - (ln \; t+3).\: 2^{x} - ln\; t= 0$ admita duas raízes reais e distintas, obtemos:

gabarito: $e^{-1} < t < 1$

Bom dia Carolziiinhaaah!

Eu fiz assim...
4^x = 2^2x
Daí: 2>2x -(lnt + 3)2^x - lnt = 0
fazendo 2^x = a ===> a² - (lnt + 3)a - lnt = 0 (eq. 2º grau)
Delta > 0
(lnt + 3)² - 4(1)(-lnt) > 0
ln²t + 10 lnt + 9 > 0
fazendo lnt = b
b² + 10b + 9 > 0 (ineq. 2º grau)
b > -1 ou b < -9
b > -1
lnt > -1 ===> log(e) t > log (e) e-¹ ===> t > e-¹
b < -9
lnt < -9 ===> log(e) t < log(e) e^(-9) ===> t < e^(-9) < 1 ===> t < 1
Acho que é isso!

por Carolziiinhaaah Dom 19 Jun 2011, 19:43

hmmm, obrigada pela disponibilidade Joel!
poderia me explicar só mais uma coisa?
o que você fez na seguinte parte..?

lnt > -1 ===> log(e) t > log (e) e-¹ ===> t > e-¹
b < -9
lnt < -9 ===> log(e) t < log(e) e^(-9) ===> t < e^(-9) < 1 ===> t < 1

foi ai que eu empaquei qnd tentei fazer :/

por JOEL BORGES Dom 19 Jun 2011, 20:05

Carolziiinhaaah escreveu:hmmm, obrigada pela disponibilidade Joel!
poderia me explicar só mais uma coisa?
o que você fez na seguinte parte..?

lnt > -1 ===> log(e) t > log (e) e-¹ ===> t > e-¹
b < -9
lnt < -9 ===> log(e) t < log(e) e^(-9) ===> t < e^(-9) < 1 ===> t < 1

foi ai que eu empaquei qnd tentei fazer :/

Boa tarde Carolziiinhaaah!

Na realidade eu estava tentando adequar o que eu havia encontrado para chegar na resposta.
b > -1 ===> lnt > -1 ===> log(e)t > -1
Sabemos que log(e)e-¹ = -1 * log(e)e = -1
Eu substitui -1 por log(e)e-¹ para ficar na mesma base.
b < -9
lnt < -9 ===> log(e) t < log(e) e^(-9)
Eu apenas, repito, para adequar a resposta, usei o fato de que e^(-9) < 1
logo, t < e^(-9) < 1 ===> t < 1

Espero ter ajudado!