(UPE) Grupos de três alunos

por AugustoITA Sáb 14 Abr 2018, 23:29

(UPE) A turma de espanhol de uma escola é composta por 20 estudantes. Serão formados grupos de três estudantes para uma apresentação cultural. De quantas maneiras se podem formar esses grupos, sabendo-se que dois dos estudantes não podem pertencer a um mesmo grupo?
a)6 840
b)6732
c)4 896
d)1 836
e)1122

RESPOSTA: E

por **Elcioschin** Dom 15 Abr 2018, 00:06

Com A participando e B fora ---> C(18, 2)
Com B participando e A fora ---> C(18, 2)
Com A e B não participando ---> C(18, 3)

n = 2.C(18, 2) + C.(18, 3) = 2.153 + 816 ---> n = 1 122

por **PedroX** Dom 15 Abr 2018, 00:29

De forma geral: C(20, 3) = 1140

Como é um grupo de 3, eles aparecem 18 vezes no mesmo grupo. Veja:

A B C (em que A e B são esses dois alunos, e C é qualquer outro)
Há 18 possibilidades para AB_, porque C pode ser qualquer um dos outros 18 alunos.

Portanto 1140 - 18 = 1122

por AugustoITA Dom 15 Abr 2018, 00:37

Elcioschin escreveu:Com A participando e B fora ---> C(18, 3)
Com B participando e A fora ---> C(18, 3)
Com A e B não participando ---> C(18, 3)

n = 3.C(18, 3) ---> n = 2448

Tens certeza do enunciado, alternativas e gabarito?

Tenho sim Elcioshin. Eu a coloquei no site, pois tive dificuldade em interpretar a questão, não entendi principalmente o fato de ele falar que se formam grupos de três, sendo que caso fossem criados 6 grupos de três sobrariam 2 alunos, aí se eles formassem outro grupo seria um grupo de 2 pessoas, mas no enunciado só é dito se formam grupos de três. Tentei fazer excluindo do trabalho esses 2 alunos, e também com eles fazendo mais um grupo, não tive sucesso em nenhum dos casos.

por AugustoITA Dom 15 Abr 2018, 00:42

PedroX escreveu:De forma geral: C(20, 3) = 1140

Como é um grupo de 3, eles aparecem 18 vezes no mesmo grupo. Veja:

A B C (em que A e B são esses dois alunos, e C é qualquer outro)
Há 18 possibilidades para AB_, porque C pode ser qualquer um dos outros 18 alunos.

Portanto 1140 - 18 = 1122

Obrigado PedroX, entendi a resolução, porém acho que a questão gerou confusão no enunciado, pois nela é dito grupos de três (plural) e depois ela ainda fala esses grupos (plural), assim eu entendi que haveria mais de um grupo. Você concorda que a questão ficou ambígua?

por **PedroX** Dom 15 Abr 2018, 00:47

AugustoITA escreveu:Tenho sim Elcioshin. Eu a coloquei no site, pois tive dificuldade em interpretar a questão, não entendi principalmente o fato de ele falar que se formam grupos de três, sendo que caso fossem criados 6 grupos de três sobrariam 2 alunos, aí se eles formassem outro grupo seria um grupo de 2 pessoas, mas no enunciado só é dito se formam grupos de três. Tentei fazer excluindo do trabalho esses 2 alunos, e também com eles fazendo mais um grupo, não tive sucesso em nenhum dos casos.

A resposta é o item E mesmo.

A questão não é dividir os 20 alunos em grupos de 3. A questão é que querem formar um grupo de três a partir dos 20 alunos. De quantas formas diferentes isso pode ser feito? Pegue um exemplo mais simples de verificar:

Temos os alunos A, B e C. De quantas maneiras podemos formar uma dupla com eles?

AB
AC
BC

3 maneiras.

Isso é o equivalente a uma combinação de 3 em 2.

Agora, nos mesmos moldes do exercício no tópico:

Temos os alunos A, B, C, D. De quantas maneiras podemos formar uma dupla com eles sendo que A e B não podem estar no mesmo grupo?

AB
AC
AD
BC
BD
CD

5 maneiras.

Como é uma dupla, o A pode estar com B apenas uma vez. Se fosse um trio:

~~ABC~~
~~ABD~~
ACD
BCD

O A poderia aparecer com o B duas vezes, porque o outro do trio seria o C ou o D. Por isso faríamos C(4, 3) - 2 = 2 maneiras.

por **PedroX** Dom 15 Abr 2018, 00:50

AugustoITA escreveu:
PedroX escreveu:De forma geral: C(20, 3) = 1140

Como é um grupo de 3, eles aparecem 18 vezes no mesmo grupo. Veja:

A B C (em que A e B são esses dois alunos, e C é qualquer outro)
Há 18 possibilidades para AB_, porque C pode ser qualquer um dos outros 18 alunos.

Portanto 1140 - 18 = 1122
Obrigado PedroX, entendi a resolução, porém acho que a questão gerou confusão no enunciado, pois nela é dito grupos de três (plural) e depois ela ainda fala esses grupos (plural), assim eu entendi que haveria mais de um grupo. Você concorda que a questão ficou ambígua?

Concordo. É verdade que esse grupo pode ser formado de 1122 maneiras. Mas seria impossível formar 1122 grupos ao mesmo tempo. Além disso, depois de formar um grupo, já não haveria 1122 possibilidades para o próximo. Ficou um tanto quanto ambíguo esse enunciado. Seria correto, de acordo com a resposta esperada, perguntar o seguinte: "De quantas maneiras diferentes o primeiro grupo desses pode ser formado?"

Elcioschin escreveu:Com A participando e B fora ---> C(18, 3)
Com B participando e A fora ---> C(18, 3)
Com A e B não participando ---> C(18, 3)

n = 3.C(18, 3) ---> n = 2448

Tens certeza do enunciado, alternativas e gabarito?

Permita-me tentar contribuir aqui.

Com A participando e B fora ---> C(18, 2) --> 2 porque A já está aqui
Com B participando e A fora ---> C(18, 2) --> 2 porque B já está aqui
Com A e B não participando ---> C(18, 3)

2*C(18, 2) + C(18, 3) = 1122

por **Elcioschin** Dom 15 Abr 2018, 11:01

Augusto

Eu tinha digitado errado os primeiros dois itens: C(18, 3).
O correto é C(18, 2), pois um já estava escolhido (A ou B)

Já editei minha solução.

Note que eu e Pedro chegamos na resposta correta, por caminhos diferentes. Isto é bom, para os usuários entenderem que existem opções para resolver.