Qual a taxa de juros efetivos da operação?

Um financiamento de $ 691.123,70 será pago mensalmente em 18 prestações com reajuste mensal de 5%. Sabendo que o primeiro pagamento de $ 48.000,00 será efetuado no fim do primeiro mês, calcular a taxa de juros efetivos da operação.

R: 7%

Boa noite!

Dados:
Financiamento: $ 691.123,70
Reajuste mensal: 5%
Prestações: 18
Primeiro pagamento: $ 48.000,00
Taxa: ?

Calculando:
\\PV=\dfrac{PMT}{(1+i)^n}\cdot\left[\dfrac{(1+r)^n-(1+i)^n}{r-i}\right]\\691\,123,70=\dfrac{48\,000}{(1+i)^{18}}\cdot\left[\dfrac{(1,05)^{18}-(1+i)^{18}}{5\%-i}\right]\\\dfrac{691\,123,70}{48\,000}\cdot(1+i)^{18}\cdot(0,05-i)=1,05^{18}-(1+i)^{18}\\\boxed{i\approx 7\%\text{a.m.}}

Usando processo iterativo.

Espero ter ajudado!

Luiz 2017 escreveu:Um financiamento de $ 691.123,70 será pago mensalmente em 18 prestações com reajuste mensal de 5%. Sabendo que o primeiro pagamento de $ 48.000,00 será efetuado no fim do primeiro mês, calcular a taxa de juros efetivos da operação.

R: 7%

Gostaria que fossem postados exercícios em que não fossem necessários processos iterativos para a solução.

Feliz ano novo.

Jota-r, boa tarde!

Não me incomodo em achar o resultado em processo iterativo. Mas o problema principal é que os colegas que não conhecem nenhum processo, ou nunca os estudaram, ficam com uma solução como essa 'vaga', faltando uma parte, né?
Neste aspecto concordo também que gostaria de poder resolver questões sem a necessidade de iterações.

Abraços!

jota-r escreveu:

Luiz 2017 escreveu:Um financiamento de $ 691.123,70 será pago mensalmente em 18 prestações com reajuste mensal de 5%. Sabendo que o primeiro pagamento de $ 48.000,00 será efetuado no fim do primeiro mês, calcular a taxa de juros efetivos da operação.

R: 7%

Gostaria que fossem postados exercícios em que não fossem necessários processos iterativos para a solução.

Feliz ano novo.

jota-r, você não precisa usar processo iterativo. Pode usar calculadora financeira, Wolfram-Alpha, Symbolab, tabelas de juros, etc.

Toda vez que o problema recai numa equação implícita, não há outra alternativa. Infelizmente.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:

Luiz 2017 escreveu:Um financiamento de $ 691.123,70 será pago mensalmente em 18 prestações com reajuste mensal de 5%. Sabendo que o primeiro pagamento de $ 48.000,00 será efetuado no fim do primeiro mês, calcular a taxa de juros efetivos da operação.

R: 7%

Gostaria que fossem postados exercícios em que não fossem necessários processos iterativos para a solução.

Feliz ano novo.

jota-r, você não precisa usar processo iterativo. Pode usar calculadora financeira, Wolfram-Alpha, Symbolab, tabelas de juros, etc.

Toda vez que o problema recai numa equação implícita, não há outra alternativa. Infelizmente.

Outra coisa: para cálculo da taxa as equações de juros são sempre implícitas, qual seja, não há solução direta (para n maior que 2).

Para séries não uniformes (gradiente) não há fórmula aproximada para cálculo de "i" como há em séries uniformes, tais como Lenzi, Baily, etc. Portanto, se não for por um processo alternativo destes, não se encontra a solução.

jota-r escreveu:

Luiz 2017 escreveu:Um financiamento de $ 691.123,70 será pago mensalmente em 18 prestações com reajuste mensal de 5%. Sabendo que o primeiro pagamento de $ 48.000,00 será efetuado no fim do primeiro mês, calcular a taxa de juros efetivos da operação.

R: 7%

Gostaria que fossem postados exercícios em que não fossem necessários processos iterativos para a solução.

Feliz ano novo.

Baltuilhe e Luiz, feliz ano novo.

Concordo que, em muitos casos, a solução final do exercício não pode ser concluída de forma convencional, forçando o "resolvente" a apelar para o que chamo de "métodos heterodoxos", como Wolfran, Newton e outros que tais.

O que eu quis dizer foi que poderíamos evitar a postagens de exercícios cuja solução dependesse desses artifícios, até para nos enquadrar no escopo do fórum, que é ajudar, a nível de ensino médio, estudantes que desejam  prestar exame vestibular, participar de concursos etc.

Um abraço.

jota-r escreveu:
Baltuilhe e Luiz, feliz ano novo.

Concordo que, em muitos casos, a solução final do exercício não pode ser concluída de forma convencional, forçando o "resolvente" a apelar para o que chamo de "métodos heterodoxos", como Wolfran, Newton e outros que tais.

O que eu quis dizer foi que poderíamos evitar a postagens de exercícios cuja solução dependesse desses artifícios, até para nos enquadrar no escopo do fórum, que é ajudar, a nível de ensino médio, estudantes que desejam  prestar exame vestibular, participar de concursos etc.

Um abraço.

jota-r, boa tarde.

Como eu disse acima, para cálculo da taxa as equações de juros são SEMPRE implícitas, qual seja, não há solução direta (para n maior que 2). Portanto é inevitável. Caso contrário não consegue exprimir a solução em números, não consegue quantificar

Um bom novo ano.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:
Baltuilhe e Luiz, feliz ano novo.

Concordo que, em muitos casos, a solução final do exercício não pode ser concluída de forma convencional, forçando o "resolvente" a apelar para o que chamo de "métodos heterodoxos", como Wolfran, Newton e outros que tais.

O que eu quis dizer foi que poderíamos evitar a postagens de exercícios cuja solução dependesse desses artifícios, até para nos enquadrar no escopo do fórum, que é ajudar, a nível de ensino médio, estudantes que desejam  prestar exame vestibular, participar de concursos etc.

Um abraço.

jota-r, boa tarde.

Como eu disse acima, para cálculo da taxa as equações de juros são SEMPRE implícitas, qual seja, não há solução direta (para n maior que 2). Portanto é inevitável. Caso contrário não consegue exprimir a solução em números, não consegue quantificar

Um bom novo ano.

Boa tarde, Luiz.

O que eu disse é que se poderia evitar.....

Feliz ano novo.

baltuilhe escreveu:Boa noite!

Dados:
Financiamento: $ 691.123,70
Reajuste mensal: 5%
Prestações: 18
Primeiro pagamento: $ 48.000,00
Taxa: ?

Calculando:

\\PV=\dfrac{PMT}{(1+i)^n}\cdot\left[\dfrac{(1+r)^n-(1+i)^n}{r-i}\right]\\\\691\,123,70=\dfrac{48\,000}{(1+i)^{18}}\cdot\left[\dfrac{(1,05)^{18}-(1+i)^{18}}{5\%-i}\right]\\\\\dfrac{691\,123,70}{48\,000}\cdot(1+i)^{18}\cdot(0,05-i)=1,05^{18}-(1+i)^{18}\\\\\boxed{i\approx 7\%\text{a.m.}}

Usando processo iterativo.

Espero ter ajudado!

O resultado do Baltuilhe está corretíssimo. Mas como ele não indicou qual método iterativo foi utilizado, apenas com a finalidade de esmiuçar o cálculo vou aqui utilizar o método de Newton-Raphson passo a passo:

Equação geral do valor presente de série de pagamentos postecipados em progressão geométrica crescente:

PV = p\cdot \left[\frac {1 - \left( \frac{1+g}{1+i} \right)^{n}} {i-g}\right] = \frac{p}{(1+i)^{n}}\cdot \left[\frac{(1+i)^{n} - (1+g)^{n}}{i-g}\right]

onde:

FV = 691.123,70
p = 48.000,00
g = 0,05
n = 18 meses
i = ?

Substituindo valores:

691123,70 = \frac{48000}{(1+i)^{18}}\cdot \left[\frac{(1+i)^{18} - (1+0,05)^{18}}{i-0,05}\right]

\frac{691123,70}{48000}\cdot (1+i)^{18} = \left[\frac{(1+i)^{18} - 2,40662}{i-0,05}\right]

14,39841\cdot (1+i)^{18}\cdot (i-0,05) = (1+i)^{18} - 2,40662

14,39841\cdot (1+i)^{18}\cdot (i-0,05) - (1+i)^{18} + 2,40662 = 0

Portanto:

f(i_0) = 14,39841\cdot (1+i_0)^{18}\cdot (i_0-0,05) - (1+i_0)^{18} + 2,40662

f'(i_0) = 273,57\cdot(i_0 + 0,0526316)\cdot(i_0+1)^{17}

i_0 = 10% = 10/100 = 0,1 (valor inicial arbitrado)

i_1 = i_0 - \frac{f(i_0)}{f'(i_0)}

Iterações feitas com a calculadora de bolso TI-35X:

1^a\;iteracao:\;i_0 = 0,1000000000000\;=>\; i_1 = 0,0753173977136
2^a\;iteracao:\;i_0 = 0,0753173977136\;=>\; i_1 = 0,0711394175887
3^a\;iteracao:\;i_0 = 0,0711394175887\;=>\; i_1 = 0,0700765177607
4^a\;iteracao:\;i_0 = 0,0700765177607\;=>\; i_1 = 0,0700007230043

O processo iterativo pode ser aqui interrompido visto que na 4ª iteração já houve coincidência das 4 primeiras casas decimais em relação a 3ª iteração, o que significa que a precisão é de 10^-4, isto é, se houver erro ele é menor que 0,00001. Portanto a solução do problema é 0,0700007230043 com exatidão nas 4 primeiras casas decimais, o que é mais que suficiente para o cálculo da taxa de juros.

Resposta:

\boxed{ i \approx 7,00\%\;a.m. }

Bate com o resultado do Baltuilhe.