Funções trigonométricas

por jose16henrique campos de Seg 25 Dez 2017, 10:53

A questão pede pra fazer o estudo das funções :

F(x)= \cos^{2}(2x) - \sin^{2}(x)
D(f)= \mathbb{R},p(f)=\frac{\pi}{2}, Im(f)= \left [-1,1 \right]

E

g(x)=\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\cos(x)-\sin(x)}

Im(g)=\mathbb{R},D(g)=\left \{ x \in \mathbb{R}\mid x \neq \frac{\pi}{4}+k\pi \right\}, p(f)=\pi

Poderiam me ajudar com isso não tô conseguindo, por favor!

por **Elcioschin** Seg 25 Dez 2017, 12:19

1) f(x) = cos²(2.x) - sen²x ---> f(x) = cosx.cos.x - senx.senx ---> f(x) = cos(2.x)

p(f) pi/2 ---> Im(f) = [-1, 1]

2) g(x) = (senx + cosx)/(cosx - senx) ---> g(x) (senx + cosx).(cosx + senx)/(cosx - senx).(cos x + senx) --->

g(x) = (sen²x + cos²x + 2.senx.cosx)/(cos²x - sen²x) ---> g(x) = [1 + sen(2.x)]/cos(2.x) --->

g(x) = 1/cos(2x) + sen(2.x)/cos(2.x) ---> g(x) = sec(2.x) + tg(2.x)

A função existe para qualquer valor real de x, diferente de pi/4 + k.i , pois não existe tg(pi/2) ou tg(3.pi/2)
O período é p(g) = pi ---> e não p(f) = pi

por jose16henrique campos de Ter 26 Dez 2017, 07:06

Elcioschin escreveu:1) f(x) = cos²(2.x) - sen²x ---> f(x) = cosx.cos.x - senx.senx ---> f(x) = cos(2.x)

p(f) pi/2 ---> Im(f) = [-1, 1]

2) g(x) = (senx + cosx)/(cosx - senx) ---> g(x) (senx + cosx).(cosx + senx)/(cosx - senx).(cos x + senx) --->

g(x) = (sen²x + cos²x + 2.senx.cosx)/(cos²x - sen²x) ---> g(x) = [1 + sen(2.x)]/cos(2.x) --->

g(x) = 1/cos(2x) + sen(2.x)/cos(2.x) ---> g(x) = sec(2.x) + tg(2.x)

A função existe para qualquer valor real de x, diferente de pi/4 + k.i , pois não existe tg(pi/2) ou tg(3.pi/2)
O período é p(g) = pi ---> e não p(f) = pi

Mas ali em f(x)= cos²(2.x) - sen²x
O cos²(2x) = (cosx.cosx - senx.senx)[size=31]²[/size]
Aí cos²(2x)-sen²(x) = cos⁴(x)-2cos²x.sen²x + sen⁴x - sen²x
Como você simplificou de forma que só ficou f(x)=cos(2x)

por **Elcioschin** Ter 26 Dez 2017, 09:15

Eu não vi que era cos²(2.x) e resolvi como cos²x
E acredito que haja erro no enunciado (não existe o 2), pois se existir a solução não vai coincidir com o gabarito. Veja:

1) f(x) = cos²(2.x) - sen²x ---> f(x) = [cos(2.x)]² - sen²x ---> f(x) = (1 - 2.sen²x)² - sen²x ---> f(x) = 4.(sen²x)² - 5.sen²x + 1

Raízes: senx = 1/4 e senx = 1 ---> A função é uma parábola com concavidade voltada para cima. Ela é negativa entre as raízes e o período não é pi/2

por jose16henrique campos de Ter 26 Dez 2017, 09:27

Elcioschin escreveu:Eu não vi que era cos²(2.x) e resolvi como cos²x
E acredito que haja erro no enunciado (não existe o 2), pois se existir a solução não vai coincidir com o gabarito. Veja:

1) f(x) = cos²(2.x) - sen²x ---> f(x) = [cos(2.x)]² - sen²x ---> f(x) = (1 - 2.sen²x)² - sen²x ---> f(x) = 4.(sen²x)² - 5.sen²x + 1

Raízes: senx = 1/4 e senx = 1 ---> A função é uma parábola com concavidade voltada para cima. Ela é negativa entre as raízes e o período não é pi/2

Esse livro tem muitos gabaritos errados mesmo, muito obrigado