Funçoes trigonométricas

por **Bruna Barreto** Sex 16 Mar 2012, 12:37

h(x)=cos⁴x + sen⁴x
eu sei o periodo que é pi e
Mas como faço para saber a imagem eu paro em : sen²x(2sen²x - 2) +1
Gab. [1/2,1]

por **hygorvv** Sex 16 Mar 2012, 13:19

sen²(x)+cos²(x)=1
seja sen²(x)=k e cos²(x)=y
(k+y)²=1²
k²+y²+2ky=1
k²+y²=1-2ky
substituindo
sen^4(x)+cos^4(x)=1-2.sen²(x).cos²(x)=1-2sen²(x)(1-sen²(x)=1-2sen²(x)+2sen^4(x)
h(x)=1-(2sen²(x)-2sen^4(x))
Note que para x=0 temos o valor máximo da função (h(0)=1)
agora, encontremos o valor máximo de 2sen²(x)-2sen^4(x)
sendo g(x)=2sen²(x)-2sen^4(x) -> h(x)=1-g(x)
sendo sen²(x)=t
g(t)=2t-2t²
gv=-b/2a
gv=-2/2.-2
gv=1/2

substituindo
h(x)=1-1/2
h(x)=1/2

A imagem será [1/2; 1]

Espero que seja isso e que te ajude.

por **Bruna Barreto** Sex 16 Mar 2012, 13:30

PQ VC DISSE QUE O VALOR MÁXIMO DE H(X) ERA 1?tem haver com a propriedade do sen [-1,1]?

por **hygorvv** Sex 16 Mar 2012, 14:11

Você consegue visualizar aqui:
h(x)=1-(2sen²(x)-2sen^4(x))
h(x)=1-2(sen²(x)-sen^4(x))

Ou diretamente em h(x)=cos^4(x)-sen^4(x).

por **Bruna Barreto** Sex 16 Mar 2012, 15:01

nao entendi ainda Neutral

por **Elcioschin** Sex 16 Mar 2012, 15:47

Vou tentar explicar de outra maneira:

h(x) = (cos²x)² + (sen²x)² ----> h(x) = (cos²x)² + 2*sen²x*cos²x + (cos²x)² - 2*sen²x*cos²x

h(x) = (cos²x + sen²x)² - 2*sen²x*cos²x ----> h(x) = 1- 4*sen²x*cos²x/2

h(x) = 1 - (2*senx*cosx)²/2 ---> h(x) = 1 - (1/2)*sen²(2x)

Para x = 0 ----> h(0) = 1
Para x = pi/4 ----> h(pi/4) = 1/2

Imagem [1/2, 1]

por **hygorvv** Sex 16 Mar 2012, 17:18

h(x)=1-2(sen²(x)-sen^4(x))

O valor máximo de h(x) será quando o valor de sen²(x)-sen^4(x) for mínimo.
sendo k(x)=sen²(x)-sen^4(x)
k(x)=sen²(x)(1-sen²(x))
Note que o valor mínimo de k(x) vale 0, o que implica em h(x)_max=1

Fica uma alternativa, já que o mestre Elcioschin também contribuiu.

por rihan Sex 16 Mar 2012, 19:31

OBSERVAÇÕES:

1) O período NÃO é PI, é PI/2

2) Se fosse concurso, questões com respostas optativas:

Im(h(x)) = ?

Funçoes trigonométricas VHDYiAWaL3wAAAAASUVORK5CYII=