FME-Indução finita

Pessoal preciso de ajuda na parte de indução finita do livro do iezzi vol.1
nas seguintes questões.
Demonstrar usando o principio da indução finita
A.86 
1^3+2^3+3^3...n^3=n^4/4,para todo n pertencente aos naturais não nulos
A.87
(1+a)^n>=1 + na,para todo n pertencente aos naturais não nulos, para todo a pertencente aos Reais, a>=-1

Você precisa postar as questões. Nem todo mundo tem esse livro

Reveja a 86. Acredito que o correro seria um sinal de > no lugar daquele = .

Vou provar a seguinte proposição

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ > n²/4, para todo n inteiro positivo


Testando para n = 1

1³ > 1²/4   ok!

Suponha que seja verdade para um determinado valor de n que chamaremos de k, e com isso queremos provar que será válido para n = k + 1.

Hipótese: 1³ + 2³ + ... + k³ > k²/4

Some (k + 1)³ em ambos os lados

1³ + 2³ + ... + k³ + (k + 1)³ > k²/4 + (k + 1)³

Verifique agora se:

k²/4 + (k + 1)³ > (k + 1)²/4

Desenvolvendo

k²/4 > (k + 1)² . [1/4 - (k + 1)]

k²/4 > (k + 1)² . [- 3/4 - k] = - (k + 1)² . [3/4 + k]

Note que o lado direito é menor que 0, pois k é um inteiro positivo, logo, 3/4 + k é positivo. Mas como estamos multiplicando aquele produto de números positivos por um negativo, então ele será menor que 0. Portanto:

1³ + 2³ + ... + k³ + (k + 1)³ > k²/4 + (k + 1)³ > (k + 1)²/4

1³ + 2³ + ... + k³ + (k + 1)³ > (k + 1)²/4

Então:

1³ + 2³ + ... + n³ > n²/4 

Como queriamos provar.


86 -

Nessa o 0 pode estar includo.

Prove que (1 + a)^n >= 1 + na, para todo n inteiro não negativo.

Testando na base para n = 0

1 >= 1 ok !

Assuma que é verdade para um determinado valor de n e com isso queremos provar que é válido para o sucessor desse determinado valor.

Hipótese: (1 + a)^k >= 1 + ka

Como 1 + a > 0, então podemos multiplicar ambos os lados por (1+ a), sem alterar a desigualdade.

(1 + a)^(k + 1) >= (1 + ka)(1 + a) = 1 + a + ka + ka²

Note que:

1 + a + ka + ka² > 1 + a + ka = 1 + (k + 1)a

Logo:

(1 + a)^(k + 1) > 1 + (k + 1)a

E portanto:

(1 + a)^n >= 1 + na, para todo inteiro não negativo.

Isso equivale a dizer que o juros compostos cresce mais que o juros simples

superaks escreveu:Reveja a 86. Acredito que o correro seria um sinal de > no lugar daquele = .

Vou provar a seguinte proposição

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ > n²/4, para todo n inteiro positivo


Testando para n = 1

1³ > 1²/4   ok!

Suponha que seja verdade para um determinado valor de n que chamaremos de k, e com isso queremos provar que será válido para n = k + 1.

Hipótese: 1³ + 2³ + ... + k³ > k²/4

Some (k + 1)³ em ambos os lados

1³ + 2³ + ... + k³ + (k + 1)³ > k²/4 + (k + 1)³

Verifique agora se:

k²/4 + (k + 1)³ > (k + 1)²/4

Desenvolvendo

k²/4 > (k + 1)² . [1/4 - (k + 1)]

k²/4 > (k + 1)² . [- 3/4 - k] = - (k + 1)² . [3/4 + k]

Note que o lado direito é menor que 0, pois k é um inteiro positivo, logo, 3/4 + k é positivo. Mas como estamos multiplicando aquele produto de números positivos por um negativo, então ele será menor que 0. Portanto:

1³ + 2³ + ... + k³ + (k + 1)³ > k²/4 + (k + 1)³ > (k + 1)²/4

1³ + 2³ + ... + k³ + (k + 1)³ > (k + 1)²/4

Então:

1³ + 2³ + ... + n³ > n²/4 

Como queriamos provar.


86 -

Nessa o 0 pode estar includo.

Prove que (1 + a)^n >= 1 + na, para todo n inteiro não negativo.

Testando na base para n = 0

1 >= 1 ok !

Assuma que é verdade para um determinado valor de n e com isso queremos provar que é válido para o sucessor desse determinado valor.

Hipótese: (1 + a)^k >= 1 + ka

Como 1 + a > 0, então podemos multiplicar ambos os lados por (1+ a), sem alterar a desigualdade.

(1 + a)^(k + 1) >= (1 + ka)(1 + a) = 1 + a + ka + ka²

Note que:

1 + a + ka + ka² > 1 + a + ka = 1 + (k + 1)a

Logo:

(1 + a)^(k + 1) > 1 + (k + 1)a

E portanto:

(1 + a)^n >= 1 + na, para todo inteiro não negativo.

Isso equivale a dizer que o juros compostos cresce mais que o juros simples

Obrigado pela ajuda entendi o desenvolvimento, enquanto ao sinal eu digitei errado sem querer, A.86 o expoente não é n^2/4, é n^4/4 mas eu fiz o msm desenvolvimento e é válido para n^4/4. Agradeço pela ajuda abraços !!

Então mande o que você fez para que outros possam aproveitar. 

(Depois irei editar minha resposta)