Questão 54 - Hazzan - Matemática Financeira

Considere que o IPVA possa ser pago á vista com 3,5% de desconto ou a prazo em três parcelas mensais iguais, sem acréscimo, sendo a primeira no ato. Se o pagamento for feito a prazo, qual a taxa anual de juros compostos cobrada pelo governo.

Preço à prazo = 100 ---> Preço à vista = 100 - 3,5 = 96,5

96,5/3 + (96,5/3).(1 + i) + (96,5/3).(1 + i)² = 100 ---> *3/96,5 --->

1 + (1 + i) + (1 + i)² = 100.(3/96,5) ---> Calcule i

Não consegui fazer. A resposta que o livro considera é : 54,15% a.a.

O i na minha solução é taxa mensal
Depois de calcular i, calcule a taxa anual
E você não está respeitando a Regra XI do fórum: sabia o gabarito e não postou, junto com o enunciado.

Obg mas não dá certo

Ricardobrasil97 escreveu:Considere que o IPVA possa ser pago á vista com 3,5% de desconto ou a prazo em três parcelas mensais iguais, sem acréscimo, sendo a primeira no ato. Se o pagamento for feito a prazo, qual a taxa anual de juros compostos cobrada pelo governo.

Eis aqui a solução:

Quando nos deparamos com um problema desta natureza, isto é, oferece algo para ser pago em prestações mensais iguais "sem juros" e, opcionalmente oferece um percentual de desconto "d" para pagamento à vista, há que se fazer algumas considerações a respeito.

- Seja "p" o valor nominal a ser pago (isto é, sem desconto) que será dividido em "n" parcelas iguais, sem juros.

- Seja "d" o desconto percentual oferecido para pagamento à vista (só para lembrar: d = 3,5% então d = 3,5/100 = 0,035).

Então, se haverá desconto, o valor efetivamente financiável será o resultado de: valor nominal menos o desconto, isto é, (p - dxp). E o valor da prestação, em parcelas iguais, será p/n.

Em resumo:

PV = p-d\cdot p=(1-d)\cdot p = valor efetivamente financiável.
PMT = p/n = valor de cada parcela.
n = número de parcelas.
d = desconto a ser concedido.
i = taxa de juros embutida.

Se a primeira parcela é no ato, então é pagamento antecipado, cuja equação geral para valor presente é:

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i} \cdot(1+i)

ou:

PV = PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1}{i \cdot (1+i)^{n-1}}

Substituindo valores:

(1-d) \cdot p = \frac{p}{n} \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i \cdot (1+i)^{n-1}}

1-d = \frac{(1+i)^n - 1}{n \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}}

Portanto, a equação geral para o desconto, com pagamento antecipado, será:

\boxed { d = 1 - \frac{(1+i)^n - 1}{n \cdot i \cdot (1+i)^{n-1}} }

onde:

d = 0,035
n = 3 meses
i = ?

Substituindo valores nesta última equação:

0,035 = 1 - \frac{(1+i)^3 - 1}{3 \cdot i \cdot (1+i)^{3-1}}

  \frac{(1+i)^3 - 1}{3 \cdot i \cdot (1+i)^{2}} = 1 - 0,035

  \frac{(1+i)^3 - 1}{i \cdot (1+i)^{2}} = 3 \times 0,965

  \frac{(1+i)^3 - 1}{i \cdot (1+i)^{2}} = 2,895

  (1+i)^3 - 2,895 \cdot i \cdot (1+i)^2 - 1 = 0

Trata-se de uma equação do 3º grau que não tem solução direta nem simples. Algebricamente leva uns dois dias para resolver. A alternativa é recorrer a um método iterativo ou a algum aplicativo.

Pelo Wolfram-Alpha, tem-se:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(1%2Bx)%5E3+-+2.895*x*(1%2Bx)%5E2+-+1+%3D+0

i \approx 0.036719

i \approx 3,6719\%\;a.m.

\boxed{i \approx 54,15\%\;a.a. }

Boa noite!

Tomando o valor do IPVA como 120 (sem perda de generalidade, arbitrando um valor), se o desconto à vista é de 3,5%, então o valor do desconto:
\\3,5\%\cdot 120,00=4,20

Pagamento à vista:
\\PV=120,00-4,20=115,80

Ou, se pagar parcelado, em 3x "sem juros":
\\PMT=\dfrac{120}{3}=40

Sendo a primeira de entrada. Então, montando a equação:
\\PV=PMT+\dfrac{PMT}{1+i}+\dfrac{PMT}{(1+i)^2}\\\\115,80=40+\dfrac{40}{1+i}+\dfrac{40}{(1+i)^2}\\\\75,80=\dfrac{40}{1+i}+\dfrac{40}{(1+i)^2}\\\\75,80(1+i)^2=40(1+i)+40\\\\x=1+i\\\\75,80x^2-40x-40=0\\\Delta=(-40)^2-4(75,80)(-40)\\\Delta=1\,600+12\,128=13\,728\\\sqrt{\Delta}\approx 117,166548\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\x=\dfrac{-(-40)\pm 117,166458}{2(75,80)}\\x=\dfrac{40\pm 117,166458}{151,6}\\x'=1,036719\\x''=-0,509014\\1+i=1,036719\\i=3,6719\%\text{ a.m.}\\1+i_a=(1+i)^{12}\\1+i_a=(1+3,6719\%)^{12}\\i_a\approx 54,146155\%\text{ a.a.}

Espero ter ajudado!

baltuilhe escreveu:Boa noite!

Tomando o valor do IPVA como 120 (sem perda de generalidade, arbitrando um valor), se o desconto à vista é de 3,5%, então o valor do desconto:
\\3,5\%\cdot 120,00=4,20

Pagamento à vista:
\\PV=120,00-4,20=115,80

Ou, se pagar parcelado, em 3x "sem juros":
\\PMT=\dfrac{120}{3}=40

Sendo a primeira de entrada. Então, montando a equação:
\\PV=PMT+\dfrac{PMT}{1+i}+\dfrac{PMT}{(1+i)^2}\\\\115,80=40+\dfrac{40}{1+i}+\dfrac{40}{(1+i)^2}\\\\75,80=\dfrac{40}{1+i}+\dfrac{40}{(1+i)^2}\\\\75,80(1+i)^2=40(1+i)+40\\\\x=1+i\\\\75,80x^2-40x-40=0\\\Delta=(-40)^2-4(75,80)(-40)\\\Delta=1\,600+12\,128=13\,728\\\sqrt{\Delta}\approx 117,166548\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\x=\dfrac{-(-40)\pm 117,166458}{2(75,80)}\\x=\dfrac{40\pm 117,166458}{151,6}\\x'=1,036719\\x''=-0,509014\\1+i=1,036719\\i=3,6719\%\text{ a.m.}\\1+i_a=(1+i)^{12}\\1+i_a=(1+3,6719\%)^{12}\\i_a\approx 54,146155\%\text{ a.a.}

Espero ter ajudado!

Parabéns, Baltuilhe. Você conseguiu resolver o problema algebricamente, enquanto o Luiz só conseguiu isto com o auxílio do
Wolfran. O uso de aplicativo para a solução de exercícios, além de não se enquadrar no escopo do fórum, inibe o raciocínio de quem
o pratica indiscriminadamente.

Um abraço.

jota-r escreveu:
Parabéns, Baltuilhe. Você conseguiu resolver o problema algebricamente, enquanto o Luiz só conseguiu isto com o auxílio do Wolfran. O uso de aplicativo para a solução de exercícios, além de não se enquadrar no escopo do fórum, inibe o raciocínio de quem
o pratica indiscriminadamente.

Um abraço.

jota

Com todas as vênias, peço que caia na real. Eu usei o método geral que se aplica a n=3, n=30, n=300, n=3000, o diabo. Inclusive, dá para notar, usei muita didática, expliquei  minúcias, porque minha resposta está voltada para o "escopo do fórum" como diz você. Para usuários que estão atrás de respostas para as suas dúvidas.

Agora, fiz assim porque quis e não porque desconheça outras maneiras. Se eu não quisesse usar didática, se estivesse resolvendo o problema para mim mesmo, ou para você, faria de maneira mais rápida, pois como o exercício fala em pagamento em 3 parcelas com a primeira no ato, excluindo a entrada tem-se n=2, onde uma equação do 2º grau dá resposta imediata.

Parece que sua vontade é que nos exercícios n sempre fosse igual a 2 para possibilitar a resposta simples. A mesma coisa aconteceu num outro tópico onde você resolveu um problema com n=3 usando "macetes" quando te perguntei como aplicaria tal método no mesmo problema no caso de n=30 e qual foi sua reação: "você está apelando"! Ora, meu, estes seus métodos valem ou não valem? Só fazem meia-sola? Não fazem solado inteiro?

Como disse, eu também conheço esses "macetes". Eles são de uso público. Não são privilégio de ninguém. Se quisesse usá-los eu teria usado. Não usei porque não quis. Desinteresse.

Saudaçoes anonovinas.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:
Parabéns, Baltuilhe. Você conseguiu resolver o problema algebricamente, enquanto o Luiz só conseguiu isto com o auxílio do Wolfran. O uso de aplicativo para a solução de exercícios, além de não se enquadrar no escopo do fórum, inibe o raciocínio de quem
o pratica indiscriminadamente.

Um abraço.

jota

Com todas as vênias, peço que caia na real. Eu usei o método geral que se aplica a n=3, n=30, n=300, n=3000, o diabo. Inclusive, dá para notar, usei muita didática, expliquei  minúcias, porque minha resposta está voltada para o "escopo do fórum" como diz você. Para usuários que estão atrás de respostas para as suas dúvidas.

Agora, fiz assim porque quis e não porque desconheça outras maneiras. Se eu não quisesse usar didática, se estivesse resolvendo o problema para mim mesmo, ou para você, faria de maneira mais rápida, pois como o exercício fala em pagamento em 3 parcelas com a primeira no ato, excluindo a entrada tem-se n=2, onde uma equação do 2º grau dá resposta imediata.

Parece que sua vontade é que nos exercícios n sempre fosse igual a 2 para possibilitar a resposta simples. A mesma coisa aconteceu num outro tópico onde você resolveu um problema com n=3 usando "macetes" quando te perguntei como aplicaria tal método no mesmo problema no caso de n=30 e qual foi sua reação: "você está apelando"! Ora, meu, estes seus métodos valem ou não valem? Só fazem meia-sola? Não fazem solado inteiro?

Como disse, eu também conheço esses "macetes". Eles são de uso público. Não são privilégio de ninguém. Se quisesse usá-los eu teria usado. Não usei porque não quis. Desinteresse.

Saudaçoes anonovinas.

Luiz, tenha um pouco de humildade. Você passou a conhecer o que chama de "macete" após eu usá-lo na solução de determinado problema e, inclusive, o contestou (e o faz até agora), alegando que eu estava particularizando a solução do exercício. Não estava. Estava, isto sim, usando o único meio de resolvê-lo com didática ao alcance do público alvo do fórum, como fez o Baltuilhe com  o problema do IPVA. E o método é de caráter geral, sim. Pode ser aplicado qualquer que seja o valor de n. Se você não consegue resolver o problema, o entrave não está no fato de ter atribuído um valor arbitrário ao preço do objeto. A encrenca é porque, no caso de n grande, a tentativa de solução algébrica conduz a uma equação de alto grau. Mas isto não é dificuldade para quem costumeiramente usa aplicativo  na solução de problemas. Desculpe-me, mas em seu questionamento, o amigo está "misturando alhos com bugalhos".

Saudaçoes anonovinas.