Capitais duplos

por felipegserrano Qua Ago 09 2017, 19:48

Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de 8% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a uma taxa de 6% ao ano capitalizada trimestralmente. A o final de quatro anos, o rendimento obtido pelo primeiro capital é R$457,86 maior do que o rendimento obtido pelo segundo capital. Calcular o valor dos capitais, sabendo-se que o segundo é 20% maior do que o primeiro.

por nishio Qui Ago 10 2017, 10:55

felipegserrano escreveu:Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de 8% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a uma taxa de 6% ao ano capitalizada trimestralmente. A o final de quatro anos, o rendimento obtido pelo primeiro capital é R$457,86 maior do que o rendimento obtido pelo segundo capital. Calcular o valor dos capitais, sabendo-se que o segundo é 20% maior do que o primeiro.

Essa questão, sem tabela financeira, ou sem dados complementares fica monstruosa!
A questão não deu nada?

por Luiz 2017 Sex Ago 11 2017, 11:30

felipegserrano escreveu:Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de 8% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a uma taxa de 6% ao ano capitalizada trimestralmente. A o final de quatro anos, o rendimento obtido pelo primeiro capital é R$457,86 maior do que o rendimento obtido pelo segundo capital. Calcular o valor dos capitais, sabendo-se que o segundo é 20% maior do que o primeiro.

Olá felipegserrano.

Pela norma do fórum você deveria apresentar o gabarito.

por Luiz 2017 Sex Ago 11 2017, 19:03

felipegserrano escreveu:Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de 8% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a uma taxa de 6% ao ano capitalizada trimestralmente. A o final de quatro anos, o rendimento obtido pelo primeiro capital é R$457,86 maior do que o rendimento obtido pelo segundo capital. Calcular o valor dos capitais, sabendo-se que o segundo é 20% maior do que o primeiro.

I- DADOS DO PROBLEMA:

1º) Capitalização semestral:

i = 8% a.a.
(1+i_a)=(1+i_s)²
(1+0,08)^1/2 = 1+i_s
i_s = 0,039230484 a.s.
n = 4 anos = 8 semestres.
PV₁ = ?
FV₁ = ?

2º) Capitalização trimestral:

i = 6% a.a.
(1+i_a)=(1+i_t)⁴
(1+0,06)^1/4 = 1+i_t

i_t = 0,014673846 a.t.
n = 4 anos = 16 trimestres.
PV₂ = ?
FV₂ = ?

3º) Outros dados:

J₁ = J₂+ 457,86
PV₂ = 1,2*PV₁

II - SOLUÇÃO:

FV₁ = PV₁*(1+i_s)⁸
FV₂ = PV₂*(1+i_t)¹⁶

Como i_s=0,039230484 e i_t=0,014673846 tem-se:

FV₁ = PV₁*(1+0,039230484)⁸
FV₂ = PV₂*(1+0,014673846)¹⁶

Ou:

FV₁ = 1,360488954*PV₁
FV₂ = 1,262476957*PV₂

Como PV₂= 1,2*PV₁, tem-se:

FV₁ = 1,360488954*PV₁ ................ (1)
FV₂ = 1,514972348*PV₁ ................ (2)

Mas:

FV₁ = PV₁ + J₁ ............................. (3)
FV₂ = PV₂ + J₂ ............................. (4)

Como:

J₁ = J₂ + 457,86
PV₂ = 1,2 * PV₁

Então das eqs. (3) e (4) tem-se:

FV₁ = PV₁ + J₂ + 457,86 ............... (5)
FV₂ = 1,2*PV₁ + J₂ ....................... (6)

Subtraindo eq. (5) menos eq. (6), tem-se:

FV₁-FV₂ = PV₁ + J₂ + 457,87 - 1,2*PV₁ - J₂

FV₁-FV₂ = 457,86 - 0,2*PV₁ ................ (7)

Subtraindo eq. (1) menos eq. (2), tem-se:

FV₁-FV₂ = 1,360488954*PV₁ - 1,514972348*PV₁

FV₁-FV2 = -0,154483394*PV₁ .............(08)

A eq. (7) é igual à eq. (08). Portanto:

457,86 - 0,2*PV₁ = -0,154483394*PV₁

457,86 = 0,045516606*PV₁

PV₁ = 10.059,18857 ≈ 10.059,19 ...... (resposta)

Como PV₂ = 1,2*PV₁ então:

PV₂ = 12.071,02305 ≈ 12.071,02 ...... (resposta)

Da eq. (1):

FV₁ = 1,360488954*PV₁

FV₁ = 1,360488954*10.059,18857

FV₁ = 13.685,41126 ≈ 13.685,41 ...... (resposta)

Da eq. (2):

FV₂ = 1,514972348*PV₁

FV₂ = 1,514972348*10.059,18587

FV₂ = 15.239,38844 ≈ 15.239,39 ...... (resposta)

III - VERIFICAÇÃO:

Da eq.(3):

FV₁ = PV₁ + J₁

13.685,41126 = 10.059,18587 + J₁

J₁ = 3.626,225388

Da eq.(4):

FV₂ = PV₂ + J₂

15.239,38844 = 12.071,02305 + J₂

J₂ = 3.168,36539

J₁-J₂ = 3.626,225388 - 3.168,36539

J₁-J₂ = 457,859998 ≈ 457,86 ..... c.q.d.

Abraços.

por **ivomilton** Sex Ago 11 2017, 22:01

Luiz 2017 escreveu:
felipegserrano escreveu:Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de 8% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a uma taxa de 6% ao ano capitalizada trimestralmente. A o final de quatro anos, o rendimento obtido pelo primeiro capital é R$457,86 maior do que o rendimento obtido pelo segundo capital. Calcular o valor dos capitais, sabendo-se que o segundo é 20% maior do que o primeiro.

Olá felipegserrano.

Pela norma do fórum você deveria apresentar o gabarito.

Boa tarde, Felipe.

Deletei minha resolução, pois foi baseada em juros simples, e não em juros compostos.

Um abraço.

por Luiz 2017 Sex Ago 11 2017, 23:17

ivomilton escreveu:
Boa tarde, Felipe.

C1 a 8% aa/s = 4% as
C2 a 6% aa/t = 1,5% at

n = 4 anos = 8 s = 16 t

J1 = J2 + 457,86
C2 = 1,2 C1
==========
M = C(1+i)^n
M1 = C1(1+0,04)^8
M2 = C2(1+0,015)^16

J1 = M1 - C1 = C1*1,04^8 - C1 = C1(1,04^8 - 1) → (I)
J2 = M2 - C2 = 1,2*C1(1,015^16 - 1) = 1,2*C1(1,015^16 - 1)

J1 = 1,2*C1(1,015^16 - 1) + 457,86
J1 = 1,2*C1 * 0,268986 + 457,86
J1 = 0,322783*C1 + 457,86 → (II)

(I) = (II):
C1(1,04^8 - 1) = 0,322783*C1 + 457,86
0,368569*C1 = 0,322783*C1 + 457,86

(0,368569 - 0,322783)*C1 = 457,86
0,045786*C1 = 457,86
C1 = 457,86 / 0,045786
C1 = R$ 10.000,00

C2 = 1,2 * R$ 10.000,00
C2 = R$ 12.000,00

Um abraço.

Caro Ivomilton:

Como o problema fala em capitalização trimestral, 1,5% ao trimestre não equivale a 6,14% ao ano?

(1+i_a) = (1+i_t)⁴

(1+i_a) = (1+0,015)⁴

1+i_a = (1,015)⁴

i_a = 1,061363551 - 1

i_a = 0,061363551 = 6,1363551/100 ≅ 6,14% a.a.

Ou estou equivocado?

A mesma coisa para 4% a.s. ⇒ 8,16% a.a.

Ou não?

Abç.

por **ivomilton** Sáb Ago 12 2017, 15:40

Boa tarde, Luiz.

Deletei minha resolução, pois, analisando bem, percebi que havia feito os cálculos baseados em fórmulas destinadas a juros simples e não a juros compostos.
Assim, o amigo tem toda a razão; para 8% a.a., a taxa semestral equivalente não seria 4%, mas:
(1 + 0,08) = (1 + i)²
1,08 = (1+i)²

1+i = 1,08 ^ 1/2 = 1,08 ^ 0,5 = 1,03923 = 3,92% e não 4%.

(1 + 0,06) = (1 + i)⁴

1,06 = (1 + i)⁴

Igualmente:
1+i = 1,06 ^ 1/4 = 1,06 ^ 0,25 = 1,014674 = 1,47% e não 1,5%.

Muito obrigado por sua pertinente observação.

Um abraço.

por felipegserrano Seg Ago 14 2017, 19:31

No gabarito está

C1=5517,30
C2=4597,75

por **ivomilton** Seg Ago 14 2017, 22:34

felipegserrano escreveu:Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de 8% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a uma taxa de 6% ao ano capitalizada trimestralmente. A o final de quatro anos, o rendimento obtido pelo primeiro capital é R$457,86 maior do que o rendimento obtido pelo segundo capital. Calcular o valor dos capitais, sabendo-se que o segundo é 20% maior do que o primeiro.

Boa noite, Felipe.

Refiz minha resolução; veja:

Boa noite, Felipe
C1 → is = ia^0,5 = 1,08^0,5, pois o ano tem 2 semestres e 1/2 ano = 0,5 ano
C2 → it = ia^0,25 = 1,06^0,25, pois o ano tem 4 trimestres e 1/4 ano = 0,25 ano
4 anos = 4*2 = 8 semestres = 4*4 = 16 trimestres

M1 = C1*(1,08^0,5)^8
M2 = C2*(1,06^0,25)^16

C2 = 1,2*C1

J1 = C1*[(1,08^0,5)^8 – 1]
J2 = 1,2 C1*[(1,6^0,25)^16 – 1]

J1 = J2 + 457,86

J1 = C1*(1,360489 – 1) = 0,360489 C1
J2 = 1,2*C1*(1,262477 – 1) = C1*1,2*0,262477 = 0,314972 C1

0,360489 C1 = 0,314972 C1 + 457,86
(0,360489 – 0,314972) C1 = 457,86
0,0455166 C1 = 457,86

C1 = 457,86 / 0,0455166 = 10059,185
C1 = R$ 10.059,19

C2 = 1,2 * 10059,185
C2 = R$ 12.071,02

Verificação:
J1 = 10.059,19 * [(1,08^0,5)^8 – 1] = 10.059,19 * 0,360489 = R$ 3.626,23
J2 = 12.071,02 * [(1,06^0,25)^16 – 1] = 12.071,02 * 0,262477 = R$ 3.168,37
J1 – J2 = R$ 3.626,23 – R$ 3.168,37 = R$ 457,86

NOTA — O gabarito que você forneceu deve estar errado (ou então os dados fornecidos deveriam ser outros).

Um abraço.

por Luiz 2017 Ter Ago 15 2017, 11:09

ivomilton escreveu:
felipegserrano escreveu:Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de 8% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a uma taxa de 6% ao ano capitalizada trimestralmente. A o final de quatro anos, o rendimento obtido pelo primeiro capital é R$457,86 maior do que o rendimento obtido pelo segundo capital. Calcular o valor dos capitais, sabendo-se que o segundo é 20% maior do que o primeiro.
Boa noite, Felipe.

Refiz minha resolução; veja:

Boa noite, Felipe
C1 → is = ia^0,5 = 1,08^0,5, pois o ano tem 2 semestres e 1/2 ano = 0,5 ano
C2 → it = ia^0,25 = 1,06^0,25, pois o ano tem 4 trimestres e 1/4 ano = 0,25 ano
4 anos = 4*2 = 8 semestres = 4*4 = 16 trimestres

M1 = C1*(1,08^0,5)^8
M2 = C2*(1,06^0,25)^16

C2 = 1,2*C1

J1 = C1*[(1,08^0,5)^8 – 1]
J2 = 1,2 C1*[(1,6^0,25)^16 – 1]

J1 = J2 + 457,86

J1 = C1*(1,360489 – 1) = 0,360489 C1
J2 = 1,2*C1*(1,262477 – 1) = C1*1,2*0,262477 = 0,314972 C1

0,360489 C1 = 0,314972 C1 + 457,86
(0,360489 – 0,314972) C1 = 457,86
0,0455166 C1 = 457,86

C1 = 457,86 / 0,0455166 = 10059,185
C1 = R$ 10.059,19

C2 = 1,2 * 10059,185
C2 = R$ 12.071,02

Verificação:
J1 = 10.059,19 * [(1,08^0,5)^8 – 1] = 10.059,19 * 0,360489 = R$ 3.626,23
J2 = 12.071,02 * [(1,06^0,25)^16 – 1] = 12.071,02 * 0,262477 = R$ 3.168,37
J1 – J2 = R$ 3.626,23 – R$ 3.168,37 = R$ 457,86

NOTA — O gabarito que você forneceu deve estar errado (ou então os dados fornecidos deveriam ser outros).

Um abraço.

Bom dia Ivomilton:

A fórmula universalmente utilizada em juros é:

M = C*(1+i)ⁿ

que tem um só expoente: n.

Você está utilizando a seguinte fórmula:

M = C*[ (1+0,08)^0,5]⁸

que tem dois expoentes: 0,5 e 8? É isto mesmo?

Idem para 0,25 e 16?

Sds.