Sistema Linear

(ITA) Seja a ∈ R, a > 0 e a ≠ 1 e considere a matriz A:




Para que a característica de A seja máxima, o valor de "a" deve ser tal que:

a) a ≠ 10 e a ≠ 1/3.
b) a ≠  √10 e a ≠  1/3.
c) a ≠ 5 e a ≠  10.
d) a ≠  2 e a ≠  √3.
e) a ≠ 2 e a ≠ √10.

Resposta segundo o gabarito: B


Resolução:


Observe que log_a 1 e log_10 1 valem 0. Seja então:

A' = |log_a 3a log_10 (3a)²|
       |log_a (1/a) -log_a a |
Mas log_a (1/a) e -log_a a valem -1. Logo:

A' = |log_a 3a log_10 (3a)²|
       |    -1               -1     |

det A' = log_10 (3a)² - log_a 3a .:. 
det A' = 2*log_10 3a - (log_10 3a/log_10 a) .:.
det A' = log_10 3a * (2 - 1/log_10 a)
det A' = log_10 3a * (2 - log_a 10)

Para o determinante ser nulo, devemos ter:

log_10 3a = 0 ou 2 - log_a 10 = 0 .:. 3a = 1 .:. a = 1/3 ou a² = 10 .:. a = √10

Logo, para que a característica de A seja máxima, devemos ter D diferente de zero, ou seja, 
a ≠  √10 e a ≠  1/3.















Eu não entendi essa parte com a seta

det A' = log_10 (3a)² - log_a 3a .:. 
det A' = 2*log_10 3a - (log_10 3a/log_10 a) .:.
det A' = log_10 3a * (2 - 1/log_10 a) <-----
det A' = log_10 3a * (2 - log_a 10) <------

Tem uma propriedade para o logaritmo que ele usou na resolução que inverte a base e o logaritmando, ex:

detA' = log₁₀(3.a)² - log_a(3.a)

Mudando a base do 2º termo:

detA' = 2.log₁₀(3.a) - log₁₀(3.a)/log₁₀(a) ---> mmc

detA' = [2.log₁₀(3.a).log₁₀(a) - log₁₀(3.a)]/log₁₀(a) ---> detA' = 0 ---> numerador = 0:

2.log₁₀(3.a).log₁₀(a) - log₁₀(3.a) = 0 ---> Fatorando:

log₁₀(3.a).[2.log₁₀(a) - 1] = 0 --> temos duas soluções:

1) log₁₀(3.a) = 0  ---> 3.a = 1 ---> a = 1/3

2) 2.log₁₀(a) - 1 = 0 ---> 2.log₁₀(a) = 1 ---> log₁₀(a) = 1/2 ---> a = 10^1/2 ---> a = √10

Muito Obrigado!