equação redutível a 2o grau

por mari Seg 17 Jul 2017, 11:33

$x^{4}-4x^{3}+5x^{2}-4x+1=0$

(Sugestão da questão: dividir, membro a membro, por X².

por **Victor011** Seg 17 Jul 2017, 12:45

Esse polinômio é conhecido na matemática como "polinômio recíproco", e se caracteriza pelos seus coeficientes, que são simétricos em relação ao meio. Para resolver esse tipo de questão, a ideia bastante comum é dividir pelo termo do meio. Veja:

\\x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0\\\\\text{dividindo por}\;x^2:\\\\x^2-4x+5-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0\\\\(x^2+\frac{1}{x^2})-4(x+\frac{1}{x})+5=0

Agora vamos fazer uma substituição de variáveis clássica na resolução de polinômios recíprocos. Veja:

\\\bullet\;x+\frac{1}{x}=u\\\\\bullet\;x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=u^2-2\\\\\text{substituindo na equa\c{c}\~ao:}\\\\u^2-4u+3=0\;\to\;u=1\;ou\;u=3\\\\\bullet\;x+\frac{1}{x}=1\\\\x^2-x+1=0\\\\\boxed{x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}}\\\\\bullet\;x+\frac{1}{x}=3\\\\x^2-3x+1=0\\\\\boxed{x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}

por **Euclides** Seg 17 Jul 2017, 14:16

Bonita explicação Victor011. Limpa, clara, didática, paciente.

por mari Seg 17 Jul 2017, 22:03

Agradeço a ajuda Victor011.
Onde aparece o grifo, porque é -2 e não -4 ou -2²?

por **Elcioschin** Seg 17 Jul 2017, 22:19

(x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2

u² = x² + 1/x² + 2

x² + 1/x² = u² - 2

por mari Ter 18 Jul 2017, 16:44

Acho que ainda não compreendi o porquê do -2

por mari Ter 18 Jul 2017, 16:48

Minha dúvida está na igualdade

Não consigo entender o que foi feito para obter (x+1/2)^2-2

por **Elcioschin** Ter 18 Jul 2017, 17:01

Mas eu mostrei o porque do - 2 e até escrevi em vermelho!
Releia a minha explicação.

por mari Ter 18 Jul 2017, 17:33

Fiquei na mesma. Mas tudo bem, obrigada.

por **Victor011** Ter 18 Jul 2017, 17:44

Mari, a substituição que eu fiz não possui uma motivação ou um "porquê", mas é muto importante e útil. Ela basicamente vem de um produto notável. Veja:

\\(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\\\quando\;a=x\;e\;b=\frac{1}{x}:\\\\(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\\\\(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\\\\x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2

Não exite em perguntar, ficarei satisfeito em tirar sua dúvida. Smile