Análise Combinatória

A câmara de vereadores de uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes são de partidos políticos da situação ( aliados ao governo municipal ) e os 7 restantes são de partidos da oposição ( contrários ao governo municipal ). É necessário compor uma comissão especial a ser formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e o líder da oposição não poderão fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que poder ser constituída é igual a:
Resposta: 810.

Pessoal, gostaria de saber o que eu estou errando na minha resolução.

Boa tarde, Lucas.

Vejamos inicialmente que as comissões poderiam ser formada de duas maneiras:

a) 2 vereadores da situação + 3 vereadores da oposição:
                C6,2 . C7,3 = 15 . 35 = 525

b) 3 vereadores da situação + 2 vereadores da oposição:
                C6,3 . C7,2 = 20 . 21 = 420

Então, temos um total de 525 + 420 = 945 comissões possíveis.

Porém, elas incluem aquelas comissões em que os líderes estão ambos presentes.

Consideremos novamente os dois casos possíveis, agora com a presença dos líderes:

a) 2 vereadores da situação + 3 vereadores da oposição, com os dois líderes:
                C5,1 . C6,2 = 5 . 15 = 75

b) 3 vereadores da situação + 2 vereadores da oposição:
                C5,2 . C6,1 = 10 . 6 = 60

Assim, 75 + 60 comissões possuem os dois líderes.

Para satisfazer as condições do enunciado basta fazer:

945 - 135 = 810 comissões possíveis.

Abraço.

FiloPraga, entendi perfeitamente a sua resolução, muito obrigado. Contudo, ainda assim não estou conseguindo identificar aonde eu estou errando. Você conseguiu o meu equívoco na resolução acima ?

Olá, Lucas.

Sabemos que existe diferença entre um arranjo e uma combinação, certo?

No arranjo a posição dos elementos é importante e na combinação não.

Não sei se tenho competência para explicar a sutileza do seu engano, então vou dar um exemplo do erro que pode ser facilmente cometido em muitos casos.

Imagine que tenhamos 4 vereadores (A, B, C e D) e desejemos formar uma comissão com três deles. De quantas formas isso pode ser feito?

É fácil enxergar que existem C4,3 = 4 comissões possíveis diferentes.

Agora, atenção ! O que segue foi o erro que você cometeu.

Digamos que para formar a comissão, eu decida primeiro escolher 2 dos 4 vereadores. Isso pode ser feito de C4,2 = 6 maneiras diferentes. Para escolher, agora, o terceiro membro da comissão, existiriam duas possibilidades. Isso resulta em 6 x 2 = 12 comissões !!!!

O que aconteceu ???

Vejamos, as 4 comissões possíveis seriam ABC , ABD , ACD e BCD , certo ?

Ao escolher 2 vereadores temos as 6 possibilidades: AB , AC , AD , BC , BD e CD . Para cada uma delas existem 2 possibilidades para formar o trio: ABC , ABD , ACB , ACD , ADB , ADC , BCA , BCD , BDA , BDC , CDA e CDB . Note que a mesma comissão se repete 3 vezes, por isso, encontramos 6 x 2 = 12 comissões e não 4 , como seria o correto.

No raciocínio que você utilizou, isso também ocorreu.

Pense um pouco a respeito. É um bom exercício mental.

Abraços.