Teorema de Rolle
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Teorema de Rolle
por Convidado Sex 24 Fev 2017, 14:29
Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle são satisfeitas pela função f(x)=(2x²-3x+1)/(3x-4) no intervalo I=[1/2,1].
Eu sei que há três condições básicas para que o Teorema de Rolle seja satisfeito:
- f(x) deve ser contínua;
- f(x) deve ser diferenciável (aqui está a minha dúvida);
- f(1/2)=f(1)=0.
Como eu faço para descobrir se f(x) é diferenciável? Eu pensei em descobrir isso utilizando o conceito de derivadas laterais, mas parece que neste exercício não é possível utilizar esse conceito...
Eu sei que há três condições básicas para que o Teorema de Rolle seja satisfeito:
- f(x) deve ser contínua;
- f(x) deve ser diferenciável (aqui está a minha dúvida);
- f(1/2)=f(1)=0.
Como eu faço para descobrir se f(x) é diferenciável? Eu pensei em descobrir isso utilizando o conceito de derivadas laterais, mas parece que neste exercício não é possível utilizar esse conceito...
Convidado- Convidado
Re: Teorema de Rolle
por mauk03 Sex 24 Fev 2017, 19:05
Primeiramente note que f(x) é continua em todo o intervalo [1/2, 1] e só tem descontinuidade em x = 4/3. Portanto, f(x) pode ser diferenciável em todo esse intervalo.
Como f'(x) = ((2x² - 3x + 1)/(3x - 4))' = (6x² - 16x + 9)/(3x - 4)² então f'(x) existe para todo x ∈ [1/2, 1] já que f'(x) é continua em todo esse intervalo.
Como f'(x) = ((2x² - 3x + 1)/(3x - 4))' = (6x² - 16x + 9)/(3x - 4)² então f'(x) existe para todo x ∈ [1/2, 1] já que f'(x) é continua em todo esse intervalo.
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Re: Teorema de Rolle
por Convidado Sex 24 Fev 2017, 19:23
"Primeiramente note que f(x) é continua em todo o intervalo [1/2, 1] e só tem descontinuidade em x = 4/3. Portanto, f(x) pode ser diferenciável em todo esse intervalo."
mauk, a parte acima eu entendi numa boa, mas a conclusão "Como f'(x) = ((2x² - 3x + 1)/(3x - 4))' = (6x² - 16x + 9)/(3x - 4)² então f'(x) existe para todo x ∈ [1/2, 1] já que f'(x) é continua em todo esse intervalo." eu realmente não entendi muito bem. A função só apresenta derivada até o ponto no qual a função é contínua?
mauk, a parte acima eu entendi numa boa, mas a conclusão "Como f'(x) = ((2x² - 3x + 1)/(3x - 4))' = (6x² - 16x + 9)/(3x - 4)² então f'(x) existe para todo x ∈ [1/2, 1] já que f'(x) é continua em todo esse intervalo." eu realmente não entendi muito bem. A função só apresenta derivada até o ponto no qual a função é contínua?
Convidado- Convidado
Re: Teorema de Rolle
por mauk03 Sex 24 Fev 2017, 19:57
Não apenas nesse caso mas se a função e sua derivada são continuas no mesmo intervalo então é uma garantia de que a função é diferenciável neste intervalo.
mauk03- Fera
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