Teorema de Rolle

Olá, amigos.

Mostre que o polinômio x^5+x-5 admite apenas uma raiz real.

Minha solução:

Como \\ f(x) = x^5+x-5 é polinomial, f é contínua e derivável em \mathbb{R} e consequentemente em qualquer sub-conjunto dos Reais.

Visto que \\ f(1) = -3 \text{ e } f(2) = 29 , ou seja, \\ f(1) < 0 < f(2) , existe pelo menos um \\ c \in \mathbb(1,2) , tal que \\ f(c) = 0 .

Suponha que existam \\ p \text{ e } q tais que \\ f(p) = f(q) = 0 . Os seguintes critérios são satisfeitos pela função f :

i) f é contínua em [p,q] ;
ii) f é diferenciável em (p,q) ;
iii) f(p) = f(q) .

Então, pelo Teorema de Rolle existe pelo menos um d \in (p,q) tal que f'(d) = 0 . Logo:

\\ f'(d) = 0 \therefore 5d^4+1 = 0 \Leftrightarrow d \notin \,\, \mathbb{R} , (absurdo).

Assim, concluímos que p \text{ e } q não são raízes e portanto \\ f(x) = x^5+x-5 tem apenas uma raiz real c \in (1,2) .

Está correta?

Obrigado pela atenção.

Abraços,
Pedro

Sim, está correta. Como f'(x) = 5x^4 + 1, então não existe x real tal f'(x) = 0, portanto a função f é sempre crescente e desta forma concluí-se que a curva y = f(x) não intercepta o eixo x mais que 1 vez.