Dê a equação da reta r

por Evandro A. T. Borsato Sáb 31 Dez 2016, 19:06

Dê a equação da reta r, tangente à circunferência
Dê a equação da reta r 2a6tt9h

[/img]

por Matemathiago Sáb 31 Dez 2016, 19:08

Edite a mensagem e insira a imagem novamente, pois não está dando para visualizar!

por **Elcioschin** Sáb 31 Dez 2016, 21:30

Seja P o ponto de tangência da reta com o círculo e A o centro do círculo

A^PO = 90º
OA = 2
AP = 1

tg(PÔA) = 1/2 ---> coeficiente angular da reta

Equação da reta ---> y = (1/2).x

por Evandro A. T. Borsato Dom 01 Jan 2017, 01:30

Grande mestre!

A resposta é V3x-3y=0

mais não sei como

por superaks Dom 01 Jan 2017, 07:11

Olá Evandro,

Sabendo que o raio tem 1 unidade, podemos usar a equação da distância entre um ponto e uma reta para achar sua equação.

Sabendo que a reta passa pela origem, obrigatoriamente o termo independente é igual a 0.

$\mathsf{C(2,0)}\\\\\\\mathsf{d=\dfrac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\Longleftrightarrow 1=\dfrac{a\cdot2+b\cdot 0+0}{\sqrt{a^2+b^2}}\Longleftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}=2a\Longleftrightarrow a^2+b^2=(2a)^2}\\\\=\\\\\mathsf{a^2+b^2=4a^2\Longleftrightarrow b^2=3a^2\Longleftrightarrow a=\sqrt{\dfrac{b^2}{3}}\Longleftrightarrow a=\dfrac{b}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\Longleftrightarrow a=\pm\dfrac{b\sqrt{3}}{3}~(i)}\\\\\\\mathsf{(y-0)=a\cdot(x-0)\Longleftrightarrow y=ax\Longleftrightarrow a=\boxed{\mathsf{\dfrac{y}{x}}}~~(ii)}$

$\mathsf{\!\!\!\!\!\!\!\!ax+by=0\Longleftrightarrow \dfrac{b\sqrt{3}\cdot x}{3}+by=0\Longleftrightarrow \dfrac{b\sqrt{3}\cdot x}{3}=-by\Longleftrightarrow \dfrac{b\sqrt{3}}{3}=-b\cdot \boxed{\mathsf{\dfrac{y}{x}}}\Longleftrightarrow \dfrac{\diagdown\!\!\!b\sqrt{\diagdown\!\!\!\!3}}{\diagup\!\!\!\!3}=-b\cdot \dfrac{\diagdown\!\!\!\!b\sqrt{\diagdown\!\!\!\!3}}{\diagup\!\!\!\!3}}\\\\=\\\\\mathsf{-b=1\cdot(-1)\Longleftrightarrow b = -1~~(iii)}\\\\\mathsf{(i)\to a=\pm\Big(\dfrac{-\sqrt{3}}{3}\Big)~~~~~~~~a_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}~~~~~ou~~~~~~a_2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\\\\\\\mathsf{Como~a~reta~e'~crescente~a>0,~portanto~a=a_2}\\\\\\\mathsf{a=\dfrac{y}{x}\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{y}{x}\Longleftrightarrow \sqrt{3}\cdot x=3y\Longleftrightarrow \boxed{\mathsf{\sqrt{3}\cdot x -3y=0}}}$

por Evandro A. T. Borsato Dom 01 Jan 2017, 10:09

sabia que possuía uma relação entre distancia de reta e ponto...

muito obrigado superaks!

por **JoaoGabriel** Dom 01 Jan 2017, 10:33

O que o mestre Elcio fez foi calcular o seno do ângulo e não sua tangente, mas sua ideia é o melhor caminho. Veja: (sqrt = raíz quadrada)

Hipotenusa = 2

Um dos catetos = 1

Logo o outro cateto será sqrt(4 - 1) = sqrt(3)

O coeficiente angular da reta é à tangente do ângulo, logo:

a = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3

Então:

y = x*sqrt(3)/3

x*sqrt(3) - 3y = 0

Bem mais simples. Abraços