Triangulo isosceles

Jeffersonsons escreveu:O triângulo AOB é isósceles, com ܱOA=OB e ABCD é um quadrado. Sendo Alfa a medida do ângulo AÔB ,pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
 a) 14 < alfa < 28º
b)15º < alfa < 60º 
c) 20º < alfa < 90º
d) 28º < alfa < 120º
e) 30º

Boa noite,

a = lado do quadrado
h = altura do triângulo isósceles construído sobre seu lado superior

S(triângulo) = ah/2
S(quadrado) = a²

a² > ah/2
a > h/2
2a > h
h < 2a

Fazendo esboço do triângulo isósceles, tendo O como vértice superior, A como vértice inferior esquerdo e B como vértice inferior direito, tracemos a altura h relativa à base AB, designando pela letra M seu ponto de encontro com a referida base.

AB = a
OM = h
BM = a/2

No triângulo retângulo OMB, temos:
(OB)² = (OM)² + (BM)²
(OB)² = h² + (a/2)²

(OB)² = (2a)² + (a/2)² = 4a² + a²/4 = 17a²/4
OB = √(17a²/4)
OB = a√17/2

Como, porém, h<2a, então:
OB < a√17/2

A seguir, considerando temporariamente como sendo OB=a√17/2, aplique a Lei dos Cossenos ao ângulo α oposto à base a do triângulo:

AB = a
OB = OC = a√17/2

a² = (a√17/2)² + (a√17/2)² - 2.(a√17/2).(a√17/2).cos(α)
a² = 17a²/4 + 17a²/4 - (17a²/2).cosα
(17a²/2).cosα = 34a²/4 - a² 
(17a²/2).cosα = 34a²/4 - 4a²/4 
(17a²/2).cosα =15a²/2

cosα = 15a²/2 : 17a²/2
cosα = 15a²/2 * 2/17a² 
cosα = 15/17

α≈28,07°

Entretanto, como os lados OB e OC deverão ser um pouco mais curtos, a fim de que a altura h seja menor que 2a, então o ângulo α deverá ser, por consequência, maior do que 28,07°.

Assim sendo, a única alternativa viável é a alternativa (E); doutra forma haveria várias delas que se adequariam como resposta.



Um abraço.

Bom dia. Caro ivomilton, o gabarito diz e)
mas não apareceu todo quando eu postei . estranho
e)30º