Pirâmide

(Ime 2014) Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que AB = BC = raiz de 5, AD = DC = raiz de 2, AC = 2 e SA + SB = 7. O volume da pirâmide é

Seja x = SB e y - SA ---> x + y = 7

Na base em forma de "papagaio" ou "pipa" seja O o ponto de encontro de AC com BD e h = SD

OA = OC = d ---> AC = 2 ---> OA + OC = 2 ---> OA = OC = 1

No triângulo retângulo AÔD ---> OA = 1, AD = √2 ---> OD² = (√2)² - 1 ---> OD = 1

No triângulo retângulo AÔB ---> OA = 1, AB = √5 ---> OB² = (√5)² - 1 ---> OB = 2

Área ABCD: Sb = S(ACB) + S(ACD) --> Sb = AC.OB/2 + AC.OD/2 --> Sb = 2.2/2 + 2.1/2 --> Sb = 3

SB² = SD² + BD² ---> x² = h² + (OB + OD)² ---> x² = h² + 3² ---> x² = h² + 9 ---> I
SA² = SD² + AD² ---> y² = h² + (√2)² ---> y² = h² + 2 ---> II

I - II ---> x² - y² = 7 ---> (x + y).(x - y) = 7 ---> 7.(x - y) = 7 ---> x - y = 1

x + y = 7
x - y = 1
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2.x = 8 ---> x = 4 ---> y = 3 ---> I ---> 4² = h² + 9 ---> h = √7

V = Sb.h/3 ---> V = 3.√7/3 ---> V = √7